Identification d'une conique.

[invitedfb61b74]

Bonjour a tous.

J'ai une petite question a propos d'un exo dans lequel je dois trouver l'equation reduite d'une conique donnée et l'identifier. En fait j'aurais surout besoin d'une confirmation quand a sa nature ^^ .

La conique est la suivante :



Apres toutes les operations necessaires je tombe sur l'equation reduite suivante :



C'est bien l'equation d'un cercle de centre (0,-1) et de rayon 1, non ?
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[invite8bc5b16d]

tout à fait c'est un cercle (j'ai pas vérifié par contre si l'équation se mettait sous cette forme)

[invite57a1e779]

Moi non plus, je n'ai pas vérifié si l'équation se mettait sous cette forme, mais ce ne peut pas être une équation de cercle (à moins que le repère initial ne soit pas orthonormé...) puisqu'il y a un magnifique terme rectangle non nul.
Il s'agit ici d'une ellipse.
Son centre est le point de coordonnées , ses axes sont dirigés par les vecteurs de coordonnées
pour l'axe focal,
pour l'axe non focal.

[invitedfb61b74]

"Terme rectangle" , quoit est-ce ?

C'est le terme en xy ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

"Terme rectangle" , quoit est-ce ?

C'est le terme en xy ?

Oui le terme rectangle est le terme en xy.

[invitedfb61b74]

Oui mais vu que dans l'equation a laquelle je me suis ramené ne comporte justement plus de terme en xy, ca ne peux quand meme pas etre un cercle ?

Parce que l'equation finale est bien cellle d'un cercle. Donc je me suis planté en amont ?

[invite57a1e779]

Oui mais vu que dans l'equation a laquelle je me suis ramené ne comporte justement plus de terme en xy, ca ne peux quand meme pas etre un cercle ?

Parce que l'equation finale est bien cellle d'un cercle. Donc je me suis planté en amont ?

Non, tu te "plantes" sur la conclusion.

L'équation représente bien le cercle de centre (a,b) et de rayon r, mais seulement dans un repère orthonormé.

Et j'ai grand peur que après transformation de ton équation, tu ne travailles plus dans un repère orthonormé, et que tu ne puisses plus interpréter correctement le résultat final.

[invitedfb61b74]

Huuunnn ! Oui, oui oui exact.

Toutes les modifications qui m'ammenent a la cette derniere equation consistent a digonaliser une matrice. Mais ca equivaut aussi a changer de base donc exact.

Mais du coup comment es-tu arrivé a determiner la nature de l'ellipse ? Simplement en manipulant mon equation ou en utilisant une autre methode ?

[invite57a1e779]

Mais du coup comment es-tu arrivé a determiner la nature de l'ellipse ? Simplement en manipulant mon equation ou en utilisant une autre methode ?

L'équation étant , j'ai calculé le centre en résolvant le système de deux équations et .
J'ai ensuite déterminé une base de vecteurs propres de la matrice pour déterminer les directions des axes. La matrice est symétrique réelle, donc les vecteurs propres sont nécessairement orthogonaux.
Le signe des valeurs propres fournit la nature de la conique.

[invitedfb61b74]

Okidoky. Merci bien.

Pour recapitule. Les differentes natures que les coniques peuvent prendre en fonction du signe des valeurs propres sont les suivantes :

• si , la conique est une ellipse.
• si , la conique est une hyperbole.
• et si , la conique est une parabole.

avec et , les deux valeurs propres.

C'est bien ca ?

Par contre pour ce qui est de la matrice symetrique. Elle le sera toujours dans le cas d'une connique puisque que c'est une matrice 2x2 et que les termes en dehors de la diagonale sont les meme, non ?

[invite57a1e779]

Okidoky. Merci bien.

Pour recapitule. Les differentes natures que les coniques peuvent prendre en fonction du signe des valeurs propres sont les suivantes :

• si , la conique est une ellipse.
• si , la conique est une hyperbole.
• et si , la conique est une parabole.

avec et , les deux valeurs propres.

C'est bien ca ?

Par contre pour ce qui est de la matrice symetrique. Elle le sera toujours dans le cas d'une connique puisque que c'est une matrice 2x2 et que les termes en dehors de la diagonale sont les meme, non ?

Oui c'est bien cela.

Les directions propres de la matrices, nécessairement orthogonales, sont les directions des axes de la conique.

La conique est un cercle si et seulement si , ce qui n'est pas le cas dans ton exemple, c'est à dire si la matrice est scalaire.