Démonstration de DM

[invite700e8ac5]

Bonjour, pouvez-vous m'aider à trouver la démonstration de ces égalités SVP ?

On sait que Cercle bleu est le cercle circonscrit du triangle ABC en O.
{OH}={OA}+{OB}+{OC} 1) {...} = Vecteur
A' milieu de [BC] [...] = Segment
B' milieu de [CA]
C' milieu de [AB]

1) Démontrez SVP que {OB}+{OC}=2*{OA'} 2)
2)En déduire, à l'aide de la relation 1) que {AH} = 2*{OA'}
3)Démontrez alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
4)De la même manière, démontrez que la droite (BH) est perpendiculaire à la droite (AC).
5)Que représente alors le point H pour le triangle ABC (je pense que c'est l'othocentre).

Vous n'êtes pas obligés de me donner toutes les solutions, c'est pas urgent (quoique ^^) mais si possible d'y répondre, ci joint le dessin. Merci.
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[invite57a1e779]

On sait que Cercle bleu est le cercle circonscrit du triangle ABC en O.
{OH}={OA}+{OB}+{OC}
A' milieu de [BC]
B' milieu de [CA]
C' milieu de [AB]

1) Démontrez SVP que {OB}+{OC}=2*{OA'}

Il suffit d'introduire A' par relation de Chasles dans {OB} et {OC}.

2)En déduire, à l'aide de la relation 1) que {AH} = 2*{OA'}

Cela ne devrait pas poser de problème avec un soupçon de relation de Chasles.

3)Démontrez alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.

Les relations précédentes doivent te permettre de trouver une droite parallèle à (AH), et naturellement perpendiculaire à (BC).

4)De la même manière, démontrez que la droite (BH) est perpendiculaire à la droite (AC).
5)Que représente alors le point H pour le triangle ABC (je pense que c'est l'othocentre).

C'est effectivement l'orthocentre du triangle.

[invite700e8ac5]

Merci d'avoir répondu à mes questions :

1) Effectivement, c'est A' que j'ai besoin, ce qui donne :

OB+OC = OA'+A'B+OA'+A'C
OB+OC = 2OA' + A'B+A'C

C'est ce petit bout qui m'énerve, je sais qu'avec la figure c'est égal à vecteur 0 mais je n'arrive pas à développer le calcul pour obtenir quelque chose du genre A'A' ou BB ou encore CC. C'est de cette aide que j'ai le plus besoin.

2)Problème résolu merci.
Solution :

OH=OA+OB+OC
OH=OA+2OA (grace à la relation précédente)
AO+OH=2OA
AH=2OA

3)Le problème, c'est qu'il me faut une propriété me disant que ces droites sont perpendiculaires, et laquelle ?

4) Idem

5)Problème résolu

[invite57a1e779]

Merci d'avoir répondu à mes questions :

1) Effectivement, c'est A' que j'ai besoin, ce qui donne :

OB+OC = OA'+A'B+OA'+A'C
OB+OC = 2OA' + A'B+A'C

C'est ce petit bout qui m'énerve, je sais qu'avec la figure c'est égal à vecteur 0 mais je n'arrive pas à développer le calcul pour obtenir quelque chose du genre A'A' ou BB ou encore CC. C'est de cette aide que j'ai le plus besoin.

Comment écris-tu, avec des vecteurs, que A' est le milieu de [BC] ?

3)Le problème, c'est qu'il me faut une propriété me disant que ces droites sont perpendiculaires, et laquelle ?

Qui est la perpendiculaire à [BC] passant par A' ?

4) Idem

Il suffit de recommencer les calculs en travaillant avec B', puis avec C' à la place de A'.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite700e8ac5]

1) 1/2 BC, merci de cette aide. Problème résolu : Solution :

OB + OC = OA' + A'B + OA' + A'C
= OA' + OA' + A'B + A'C
= 2OA' + 1/2BC - 1/2BC
OB + OC = 2OA'

3) C'est O, mais en quoi cela me mène, il doit y avoir une relation entre ces droites et ce fameux point O, ce qui me conduit à une propriété disant que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires, mais je ne sait pas laquelle

4) ...

[invite57a1e779]

3) C'est O, mais en quoi cela me mène, il doit y avoir une relation entre ces droites et ce fameux point O, ce qui me conduit à une propriété disant que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires, mais je ne sait pas laquelle

Non, la perpendiculaire en A' à [BC] n'est pas le point O, mais une droite, qui porte un nom spécial, et qui est caractérisée par une propriété de ses points, ce qui devrait te permettre de la reconnaître.

[invite700e8ac5]

Non, la perpendiculaire en A' à [BC] n'est pas le point O, mais une droite, qui porte un nom spécial, et qui est caractérisée par une propriété de ses points, ce qui devrait te permettre de la reconnaître.

Oui, c'est une hauteur, une hauteur c'est une droite qui passe perpendiculairement d'un somment d'un triangle, et qui a dit qu'ils étaient perpendiculaires, c'est qu'il faut démontrer ^^

[invite700e8ac5]

Il faut trouver Vecteur AH = ... Vecteur OA'.
Ils sont colinéaires. Donc ils sont parallèles.
OA' est une médiatrice donc perpendiculaire à BC.
Si une droite est perpendiculaire à une autre droite et aussi parallèle à une autre droite, alors cette dernière est perpendiculaire à la deuxième.

Qui peut me résoudre AH = ... AO' ???

[invite57a1e779]

Il faut trouver Vecteur AH = ... Vecteur OA'.
Ils sont colinéaires. Donc ils sont parallèles.
OA' est une médiatrice donc perpendiculaire à BC.
Si une droite est perpendiculaire à une autre droite et aussi parallèle à une autre droite, alors cette dernière est perpendiculaire à la deuxième.

Oui, tu as compris le principe de la démonstration.

Qui peut me résoudre AH = ... AO' ???

La réponse est dans la question 2...

[invite700e8ac5]

Oui, tu as compris le principe de la démonstration.



La réponse est dans la question 2...

Oui merci j'avais oublié finalement je sais faire merci ^^

[invite700e8ac5]

Un dernier conseil car je m'en sors pas pour celui-là

Démontrer que le point L tel que AL = 5AB appartient à la droite (KJ) et exprime JL en fonction de JK.

Il n'y a pratiquement que des vecteurs et je ne connais pas la commande pour mettre les flèches au-dessus des lettres.

Mon idée :

AL = 5AB
AL = 5AK+5KB
AL = 5AJ+5JK+5KJ+5JB
AL = ...

Help please...

[invite57a1e779]

Il est difficile de répondre sans savoir comment sont définis les points J et K.

[invite700e8ac5]

I = (-25/7 ; 20/7)
J = (3 ; 8/7)
K = (8/3 ; 3)

Ai = 5/7ab
Dc = 1/3dc
Bj = 6/7bc

[invite57a1e779]

I = (-25/7 ; 20/7)
J = (3 ; 8/7)
K = (8/3 ; 3)

Ai = 5/7ab
Dc = 1/3dc
Bj = 6/7bc

Puisque les points sont connus par leur coordonnées, tu calcules les coordonnées de L, puis des vecteurs KJ et KL, et tu vérifies que ces vecteurs sont colinéaires.

[invite700e8ac5]

J'y avais pas pensé merci