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Réduite de Jordan et Matrices Semblables



  1. #1
    Antho07

    Réduite de Jordan et Matrices Semblables


    ------

    Bonsoir,
    comment démontre t-on que 2 matrices sont semblables si et seulement si elles ont la même réduite de Jordan. (le prof n'a pas eu le temps de faire la démo)

    Il est évident que 2 matrices qui ont la meme réduite de Jordan sont semblables. LA reciproque, je n'en suis pas trop sur.

    J'ai bien compris la construction de la base de Jordan qui s'appuie sur la réduction des endomorphismes nilpotents.
    Le fait que si r est l'indice de nilpotence. ALors
    0 C ker u C ker u² C...C ker u^r=E. (inclusions strictes).

    il existe G1,G2..Gr tels que(pour tout i<=r)
    Ker u^i=Ker u^(i-1) + Gi (somme directe)

    u(Gi)C Gi-1

    et u|Gi (restriction) est injective.

    On construit la base et on utilise Jordan Dunford pour passer des endomorphismes nilpotents au cas général.



    Est ce que pour montrer cette reciproque, il suffit de dire que :

    comme A et B sont semblables alors deja, il est evident que leur réduite de Jordan possederont la meme diagonale (les valeurs propres).
    En suite la dimensions des espaces propres nous donnent le nombre de blocs de Jordan pour chaque valeur propre. La taille du plus grand bloc nous ai donner par la multiplicité de la valeur propre dans le polynome minimal.
    Reste les autres blocs:

    Suffit t-il de dire que le nombre de bloc associe à la valeur propre L de taille k est:

    rang(A-LIn)^(k-1)+rang(A-In)^(k+1)-2 rang(A-In)^k

    et comme A et B sont semblables alors rg(A-In)^j=rg(B-In)^j quelque soit j.


    Mon raisonnement est -il correct?

    -----

  2. #2
    Antho07

    Re : Réduite de Jordan et Matrices Semblables

    Je voulais dire semblables si et seulement si meme reduite de jordan à permutation des blocs pres

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