Séries de fourier

[invitebb921944]

Bonjour.
Je suis en train de me pencher sur un problème d'analyse fonctionnelle qui contient des séries de fourier !

f : R -> C est une fonction continue.
Il existe et tels que :

pour tout x réel.

a)Pour tout x réel, on définit

Montrer que la série du membre de droite converge pour tout x réel et que la fonction g ainsi définie et continue et périodique de période
Indication : on pourra montrer que la convergence est uniforme pour

Alors pour montrer que la série converge, j'écris :


Et la j'imagine que je peux la comparer à la série des non ? Enfin j'ose pas trop je sens la bêtise...

Pour la continuité c'est là qu'il faut utiliser la convergence uniforme j'imagine ? Cela dit je n'ai vraiment aucune idée...
Pour la périodicité :



Voilà si quelqu'un pouvait déjà m'éclairer la dessus que je puisse vous exposer la suite
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[invite57a1e779]

Pour prouver une convergence UNIFORME, il faudrait que tu obtiennes une majoration UNIFORME, c'est-à-dire indépendante de x...

[invitebb921944]

Est-ce que je ne peux pas dire directement que puisque f est intégrale sur R, une somme discrète de valeur de f(x) est strictement inférieur à +l'infini ?
Parce que je ne vois pas comment majorer la somme en enlevant le x ET en gardant le n (parce que une somme infinie de C>0, c'est pas très glorieux !)

Merci pour ton aide.

[inviteaf1870ed]

Regarde l'indication : x appartient à [-pi,pi]...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

J'ai beau chercher je ne vois pas

=>

Je cherche à minorer pour pouvoir majorer la fraction mais j'ai un souci.
Dois-je distinguer les cas (n positif, n négatif) ?

Merci pour votre aide.

[invite57a1e779]

J'ai beau chercher je ne vois pas

=>

Je cherche à minorer pour pouvoir majorer la fraction mais j'ai un souci.
Dois-je distinguer les cas (n positif, n négatif) ?

Merci pour votre aide.

Il est effectivement plus simple de considérer deux séries, suivant le signe de n...

[invitebb921944]

Alors j'ai:
si
si
si



Alors je sais pas si c'est juste...

Si ca l'est, je peux dire que chaque série est de la forme 1/n^p avec p>1, donc converge ?
Je peux alors en déduire que ma série initiale converge uniformément sur [-pi,pi].... ?

[invite57a1e779]

Alors j'ai:
si
si
si



Alors je sais pas si c'est juste...

Si ca l'est, je peux dire que chaque série est de la forme 1/n^p avec p>1, donc converge ?
Je peux alors en déduire que ma série initiale converge uniformément sur [-pi,pi].... ?

Il me semble que c'est plutôt , mais sinon, ça roule...

[invitebb921944]

Merci bien !