Séries de fourier
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Séries de fourier



  1. #1
    invitebb921944

    Séries de fourier


    ------

    Bonjour.
    Je suis en train de me pencher sur un problème d'analyse fonctionnelle qui contient des séries de fourier !

    f : R -> C est une fonction continue.
    Il existe et tels que :

    pour tout x réel.

    a)Pour tout x réel, on définit

    Montrer que la série du membre de droite converge pour tout x réel et que la fonction g ainsi définie et continue et périodique de période
    Indication : on pourra montrer que la convergence est uniforme pour

    Alors pour montrer que la série converge, j'écris :


    Et la j'imagine que je peux la comparer à la série des non ? Enfin j'ose pas trop je sens la bêtise...

    Pour la continuité c'est là qu'il faut utiliser la convergence uniforme j'imagine ? Cela dit je n'ai vraiment aucune idée...
    Pour la périodicité :



    Voilà si quelqu'un pouvait déjà m'éclairer la dessus que je puisse vous exposer la suite

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : Séries de fourier

    Pour prouver une convergence UNIFORME, il faudrait que tu obtiennes une majoration UNIFORME, c'est-à-dire indépendante de x...

  3. #3
    invitebb921944

    Re : Séries de fourier

    Est-ce que je ne peux pas dire directement que puisque f est intégrale sur R, une somme discrète de valeur de f(x) est strictement inférieur à +l'infini ?
    Parce que je ne vois pas comment majorer la somme en enlevant le x ET en gardant le n (parce que une somme infinie de C>0, c'est pas très glorieux !)

    Merci pour ton aide.

  4. #4
    inviteaf1870ed

    Re : Séries de fourier

    Regarde l'indication : x appartient à [-pi,pi]...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitebb921944

    Re : Séries de fourier

    J'ai beau chercher je ne vois pas

    =>

    Je cherche à minorer pour pouvoir majorer la fraction mais j'ai un souci.
    Dois-je distinguer les cas (n positif, n négatif) ?

    Merci pour votre aide.

  7. #6
    invite57a1e779

    Re : Séries de fourier

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    J'ai beau chercher je ne vois pas

    =>

    Je cherche à minorer pour pouvoir majorer la fraction mais j'ai un souci.
    Dois-je distinguer les cas (n positif, n négatif) ?

    Merci pour votre aide.
    Il est effectivement plus simple de considérer deux séries, suivant le signe de n...

  8. #7
    invitebb921944

    Re : Séries de fourier

    Alors j'ai:
    si
    si
    si



    Alors je sais pas si c'est juste...

    Si ca l'est, je peux dire que chaque série est de la forme 1/n^p avec p>1, donc converge ?
    Je peux alors en déduire que ma série initiale converge uniformément sur [-pi,pi].... ?

  9. #8
    invite57a1e779

    Re : Séries de fourier

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Alors j'ai:
    si
    si
    si



    Alors je sais pas si c'est juste...

    Si ca l'est, je peux dire que chaque série est de la forme 1/n^p avec p>1, donc converge ?
    Je peux alors en déduire que ma série initiale converge uniformément sur [-pi,pi].... ?
    Il me semble que c'est plutôt , mais sinon, ça roule...

  10. #9
    invitebb921944

    Re : Séries de fourier

    Merci bien !

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