Domine-le puis intègre-le !

[invite1237a629]

*bip bip - liaision 2/2 établie*

Ploup,

Un exercice plus long et plus...LOURD

Soit



Avec

On nous demande de montrer dans un premier temps que est

Et euh...là commencent les problèmes...
Étapes pour montrer que F est :
- montrer que l'intégrale est continue (la fonction sous l'intégrale doit être continue par x et par t et doit être dominée par une fonction indépendante de t, intégrable)

-> On n'a pas réussi à dominer la fonction...

- montrer que est continue par x et par t, puis trouver une domination...

-> Pas réussi non plus à dominer... En fait, on a des problèmes pour dominer ce genre de fonctions :/

Ca, c'est la première partie.

Dans la deuxième partie, on nous demande de calculer F'(x) avec des fonctions usuelles.

Deux possibilités :
- on dit que F'(x)=f(x,t) (relation intégrale-primitive quand ça va de 0 à x...cas particulier et qui marche ici...ou pas)

- moi, têtue, je veux d'abord dériver sous le signe intégrale...parce que ça me paraît trop simple

Détails des calculs pour F'(x) :

 Cliquez pour afficher

Décomposition en éléments simples :
Après avoir fait trois fois le calcul à deux (et je pense que c'est fiable), on a trouvé :




[...]

Donc

Deux versions qui s'affrontent...Et déjà une bizarrerie : x Arctan(x) = 3/2 ln(1+x²), pour que les deux dérivées se valent

La question suivante : vérifier (ou déduire...) que

La tentative de primitiver la première version de F'(x) s'est soldée par un échec.

La tentative de primitiver la deuxième version de F'(x) a quasiment abouti...vous comprendrez à la fin...

On prend donc l'intégrale de 0 à x de F'(x) (toujours le même schéma pour la relation primitive - intégrale). Et on peut changer les x dans F'(x) par n'importe quoi, puisqu'ils seront transformés en variables discrètes pour l'intégrale.



On s'occupe du deuxième terme, avec l'Arctan.

 Cliquez pour afficher

Dérivation par parties :

Si on remplace dans l'expression de F(x) (celle deux paragraphes en haut, avant l'étude de l'intégrale avec l'Arctan), on a donc :



Notre fausse joie a été de voir d'abord qu'au deuxième terme, nous retrouvions la formule de F(x) demandée par l'énoncée. La deuxième fausse joie a été quand, après avoir remarqué que les premier et troisième termes étaient identiques et s'être dits que ça se simplifiait pour donner pile l'expression que nous cherchions, on s'est aperçus que -1/2-1/2 ne faisait pas 0...
Après vérifications pour trouver une erreur de signes et l'heure tardive sautant à nos yeux, nous en sommes restés là...



Alors d'accord, il y a peut-être (sûrement ?) des erreurs de raisonnement ou de calculs...et c'est là que vous pourriez nous aider
J'ai conscience que ce post est très long, mais j'ai tenu à tout détailler, histoire de voir où on s'est vraiment trompés... Nul empressement, il s'agit d'un exo supplémentaire, mais ayant passé 2 heures dessus, nous aimerions bien qu'elles aient servi à quelque chose

Merci beaucoup !



Pitit PS : désolée pour les éventuelles erreurs de frappe, le seul moyen de vérifier que l'écriture tex est correcte étant la prévisualisation du message, celle-ci pourrait être erronnée... N'hésitez pas à demander
-----

[God's Breath]

Soit



Avec

Attention, ta fonction n'est
– ni une intégrale fonction de sa borne supérieure, du type , que tu pourrais dériver en ;
– ni une intégrale dépendant d'un paramètre, du type , que tu pourrais dériver en ;
mais un mélange des deux.

On peut éventuellement écrire
en posant

ce qui peut aider à étudier la continuité, mais la dérivabilité va poser problème.

[invite1237a629]

D'abord, merci pour ta réponse, j'espère que tes connaissances nous permettront de voir le bout du tunnel

Mon ami m'a dit qu'en prépa, on lui avait appris à remplacer un des x (dans la borne de l'intégrale ou dans la fonction sous l'intégrale), puis à faire tendre ce machin vers x.

Mais j'ai du mal à comprendre en quoi cela poserait problème pour la dérivabilité ?

Pour reprendre les questions dans l'ordre, si on effectue bien ce changement, comment peut-on dominer de telles fonctions ? (on a trouvé un simili de domination du numérateur par xt, sauf qu'il la faudrait indépendante de x, non ?)



Edit : ah oui, je dois avouer que j'ai introduit de mon propre chef l'écriture "f(x,t)" pour simplifier si je devais être amenée à désigner la fonction sous l'intégrale ultérieurement...

[God's Breath]

Mon ami m'a dit qu'en prépa, on lui avait appris à remplacer un des x (dans la borne de l'intégrale ou dans la fonction sous l'intégrale), puis à faire tendre ce machin vers x.

Pour reprendre les questions dans l'ordre, si on effectue bien ce changement, comment peut-on dominer de telles fonctions ? (on a trouvé un simili de domination du numérateur par xt, sauf qu'il la faudrait indépendante de x, non ?)

Tu peux étudier la fonction .
En fonction de [tex]y[\tex], elle est continue, dérivable avec .
En fonction de [tex]x[\tex], elle est continue, dérivable avec , dès que tu peux dominer et sa dérivée partielle.
Ces dominations doivent être indépendantes de , mais peuvent n'avoir lieu que sur les compacts, mais pas sur .

Tu n'auras que des propriétés de et que par rapport à chaque variable séparément, mais pas en tant que fonctions de deux variables.

En particulier, tu ne pourras pas conclure directement que est continue, et dérivable avec .

Par contre, ça peut te donner une idée de la valeur de .

Si tu reviens à mon idée d'écrire l'intégrale sur l'intervalle fixe , mais d'une fonction définie par morceaux, il y a alors le problème de la dérivabilité du raccord des deux morceaux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Bonjour.

Vu qu'un post sur la domination a été ouvert, je vais vous poser une question, qui peut vous paraître bête, mais franchement je vois pas la faille (je viens à peine de voir la domination).



Si je ne me trompe pas:
fn converge simplement vers 0 pour tout x de IR+.
Pour tout n>1, fn est intégrable et continue sur IR+.
et pour tout x, 1/(x+1)...(x+n) =< 1/(x+1)(x+2) intégrable.

(où fn est la fct sous le signe somme).

On n'a pas les hypothèses de la convergence dominée avec tout ça ?
A moins que j'aie mal noté quelque chose dans mon cours..
Merci.

[invite1237a629]

Bouuuuh le squatteur !


D'abord pour répondre à God's breath : merci infiniment, je pense que j'ai compris comment faire maintenant, il s'agit de ne pas se tromper dans les calculs. Je mettrai ma réponse Rah la la...'sont vraiment tordus ces profs...


@ Ledescat : le problème c'est qu'il faut dominer fn par une fonction intégrable et donc dont l'intégrale n'est pas infinie (enfin il me semble ). C'est vraiment lourd les dominations : s'amuser à majorer, à trouver le truc qu'il faut... c'cool...

[God's Breath]

Si je ne me trompe pas:
fn converge simplement vers 0 pour tout x de IR+.
Pour tout n>1, fn est intégrable et continue sur IR+.
et pour tout x, 1/(x+1)...(x+n) =< 1/(x+1)(x+2) intégrable.

(où fn est la fct sous le signe somme).

On n'a pas les hypothèses de la convergence dominée avec tout ça ?
A moins que j'aie mal noté quelque chose dans mon cours..
Merci.

Tu ne te trompes effectivement pas : la convergence dominée, ce n'est pas plus compliqué que ça !!

[invitec053041c]

Tu ne te trompes effectivement pas : la convergence dominée, ce n'est pas plus compliqué que ça !!

Ce qui m'a mis un gros doute, c'est que dans le cahier d'exos de mon prof, il demande de donner la limite sous forme de somme ..
Bref, sûrement une erreur.
Merci God's, et excuse-moi Mimoimolette pour ce cannibalisme de post . (je n'aime pas poster une question qui n'attend qu'un oui ou un non en général)

[God's Breath]

Ce qui m'a mis un gros doute, c'est que dans le cahier d'exos de mon prof, il demande de donner la limite sous forme de somme ..
Bref, sûrement une erreur.
Merci God's, et excuse-moi Mimoimolette pour ce cannibalisme de post . (je n'aime pas poster une question qui n'attend qu'un oui ou un non en général)

Si l'on veut la limite de l'intégrale, la convergence dominée, c'est le marteau-pilon pour écraser la mouche :

et la limite est immédiate

[invite1237a629]

Je suis en train de faire le calcul pour F'(x) puis F(x), apparemment ça marche =)

Mais toujours aucune idée pour dominer f(x,t) et df(x,t)/dx

[God's Breath]

Je suis en train de faire le calcul pour F'(x) puis F(x), apparemment ça marche =)

Mais toujours aucune idée pour dominer f(x,t) et df(x,t)/dx

peut se dominer par pour dans .

peut se dominer par pour dans avec .

[invite1237a629]

C'est drôle, j'ai l'impression que j'avais la purée de pois londonienne devant les noeils et que j'avais complètement zappé ton passage sur les compacts ^^'

Hm...dernière question après je pense que je te laisse tranquille (j'ai trouvé la dérivée à quelques broutilles près et pour la continuité, nous trouverons bien une rédaction correcte ) : faut-il que ces fonctions dominatrices soient intégrables ? À première vue on ne peut pas forcément conclure, alors faut-il étudier leur existence ?

[God's Breath]

C'est drôle, j'ai l'impression que j'avais la purée de pois londonienne devant les noeils et que j'avais complètement zappé ton passage sur les compacts ^^'

Hm...dernière question après je pense que je te laisse tranquille (j'ai trouvé la dérivée à quelques broutilles près et pour la continuité, nous trouverons bien une rédaction correcte ) : faut-il que ces fonctions dominatrices soient intégrables ? À première vue on ne peut pas forcément conclure, alors faut-il étudier leur existence ?

Bien sûr, les fonctions avec lesquelles on domine doivent toujours être intégrable.

[invite1237a629]

Rien ne nous dit que la fonction ln(1+at)/(1+t²) est intégrable ? Sauf si on domine encore par ln(1+at) ^^'

Rah la la, merci encore !

[Gwyddon]

Tu n'auras que des propriétés de et que par rapport à chaque variable séparément, mais pas en tant que fonctions de deux variables.

Hello,

En fait si, grâce au super théorème qui dit que si les dérivées partielles d'une fonction G existent et sont continues, alors la fonction G est de classe C1

Donc ici G est de classe C1 dès lors que l'on peut montrer la continuité à deux variables de ses deux dérivées partielles. Donc F(x)=G(x,x) sera alors C1.

Le problème se ramène donc à démontrer la continuité des dérivées partielles, ce qui ne doit pas être trop pénibles je pense.

[invite1237a629]

J'aime bien, hier je transmets la réponse à mon ami et ce matin il me dit que la continuité des dérivées partielles d'une fonction à deux variables ne prouve pas forcément que la fonction est dérivable ~

Donc, il faut montrer :
- continuité g(x,t) / x et t
- domination g(x,t)
- continuité dérivées partielles / x et t ? Ou x et y ? :/ suis paumée
- domination des dérivées partielles

Is that all ?

[invite88dd5ea0]

Bonjour,
Dans le meme genre, mais en plus simple, je cherche une fonction de domination de [1-(x-1)^n]/x sur ]0,1], pour pouvoir justifier son integrabilité sur le meme intervalle!!
quelqu'un aurait un idée?
merci

[invite88dd5ea0]

en fait, c'est plus encore plus simple, si je linéarise la fonction en 0 je montre qu'elle est prolongeable par continuité en 0 et hop, l'affaire est dans le sac!