Tore topologique

[invite769a1844]

Bonsoir,

On définit le tore comme le groupe quotient de par la relation d'équivalence si est un entier.

Pour tout , on pose la plus petite des valeurs absolues des représentants de sur . On pose, pour tout couple d'éléments de :

qui est une distance sur . On dit alors que est le tore topologique de dimension 1.

je ne vois pas comment montrer que le tore topologique est homéomorphe au cercle .


Merci
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[invite769a1844]

Si je comprends bien, il faut que je considère l'application de sur , définie par

,

vu qu'il est clair que équivaut à dire que est un entier,

je peux en tirer d'après le théorème de la décomposition canonique de , une bijection de sur telle que (où est la projection canonique de sur ).

là je ne vois pas vraiment comment montrer que est bicontinue.

[invite35452583]

Montrer que tend vers 0 quand d_T(x_n,x) tend vers 0 se fait facilement grace à une factorisation.
Pour la réciproque, deux possibilités :
i) soit on attaque de front et on montre l'implication inverse.
ii) soit tu montres que de toute suite de T on peut extraire une sous-suite convergente (ce qui se fait plus aisément car on peut considèrer des représentants dans R compris entre 0 et 1). Puis on utilise la propriété des compacts concernant les fonctions réciproques.

[invite769a1844]

Montrer que tend vers 0 quand d_T(x_n,x) tend vers 0 se fait facilement grace à une factorisation.
Pour la réciproque, deux possibilités :
i) soit on attaque de front et on montre l'implication inverse.
ii) soit tu montres que de toute suite de T on peut extraire une sous-suite convergente (ce qui se fait plus aisément car on peut considèrer des représentants dans R compris entre 0 et 1). Puis on utilise la propriété des compacts concernant les fonctions réciproques.

Merci homotopie, la propriété que tu parles sur les compacts concernant les fonctions réciproque, c'est celle qui dit que "toute bijection continue f d'un espace compact E sur un espace séparé F est une homéomorphie?"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Merci homotopie, la propriété que tu parles sur les compacts concernant les fonctions réciproque, c'est celle qui dit que "toute bijection continue f d'un espace compact E sur un espace séparé F est une homéomorphie?"

Oui, à part que l'on dit plutot un homéomorphisme.

[invite769a1844]

Oui, à part que l'on dit plutot un homéomorphisme.

Désolé, j'ai recopié la propriété du livre, et l'auteur appelle ça comme ça.