Base à partir de vecteurs qui engendrent

[invitefe0032b8]

Salut,

Il y a un point qui me dérange, quand j'ai par exemple u1, u2, u3 ,u4 des vecteurs qui engendrent un sous espace vectoriel F, j'écris la matrice qui à pour colonnes les vecteurs u1,...,u4 et j'échelonne selon les colonnes pour trouver par exemple 2 vecteurs qui engendrent F.
Si par exemple au départ mes vecteur u1,u2,u3,u4 sont linéairement indépendants alors ils forment une base de F donc la dimension de F c'est 4, mais vu qu'en échelonnant selon les colonnes j'ai trouvé une base de F de 2 vecteurs, la dimension est 2. Il y a surement une bonne explication à cette contradiction mais je ne vois pas laquelle.

merci
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[invitebb921944]

Bonjour

Si par exemple au départ mes vecteur u1,u2,u3,u4 sont linéairement indépendants alors ils forment une base de F donc la dimension de F c'est 4, mais vu qu'en échelonnant selon les colonnes j'ai trouvé une base de F de 2 vecteurs, la dimension est 2. Il y a surement une bonne explication à cette contradiction mais je ne vois pas laquelle.

Qu'entends tu par échelonner ? As-tu un exemple ?

[invitefe0032b8]

Je prend l'exemple de mon bouquin:



En faisant des opérations élémentaires sur les colonnes par exemple c5 <- c5 - c1 au final j'obtiens:

[invitebb921944]

Si par exemple au départ mes vecteur u1,u2,u3,u4 sont linéairement indépendants alors ils forment une base de F donc la dimension de F c'est 4, mais vu qu'en échelonnant selon les colonnes j'ai trouvé une base de F de 2 vecteurs, la dimension est 2. Il y a surement une bonne explication à cette contradiction mais je ne vois pas laquelle.

En fait la raison c'est que soit tes vecteurs n'étaient pas linéairement indépendants, soit que tu as mal échelonné.

Par exemple pour la matrice que tu as donné, tu devrais pouvoir résoudre :

au1+bu2+cu3+du4+eu5=0

Tu as nécessairement 2 vecteurs linéairement dépendant des autres puisque ta matrice échelonnée est de rang 3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefe0032b8]

Ah oui parce qu'en apparence ils sont libres mais enfait non, j'ai compris.

merci de ton aide!