Bonjour,
J'ai essayé de faire un exercice d'analyse complexe sur les homographies et les birapport, mais je ne comprends absolument rien, pouvez-vous m'éclairer, s'il vous plait?
L'exercice est le suivant:
Soit(z1,z2,z3)un triplet de points distincts deCU{infini}.
Pour z appartenant à C\{z1,z2,z3}, on note [z,z1,z2,z3] le birapport de (z,z1,z2,z3) défini par :
((z-z2)/(z-z3))/((z1-z2)/(z1-z3)) si z1,z2,z3 appartiennent à C
(z-z2)/(z-z3) si z1=infini
(z1-z3)/(z-z3) si z2=infini
(z-z2)/(z1-z2) si z3=infini
1. Montrer qu'il existe une unique homographie phi0 sur CU{infini} vérifiant phi0(z1)=1,phi0(z2)=0 et phi0(z3)=, puis que phi0(z)=[z,z1,z2,z3]=[phi0(z),1,0,infini].
2.Soit (w1,w2,w3) un second triplet de points distincts de CU{infini}.
Montrer qu'il existe une unique homographie phi telle que: pour tout kappartenant à{1,2,3},phi(zk)=wk.
3.En déduire que le groupe des homographies agit transitivement sur l'ensemble "cercles-droites" de CU{infini}.
4.Montrer que pour toute homographie psi et pour tout z appartenant à CU{infini},[psi(z),psi(z1),psi(z2),psi(z3)]=[z,z1,z2,z3]
5. En déduire comment la condition de cocyclicité ou d'alignement de 4 points a,b,c,d de C se traduit sur le birapport [a,b,c,d]. Retrouver le théoreme de l'angle inscrit à partir du résultat obtenu.
6.Quel est l'effet d'une permutation de 4 points a,b,c,d sur leur birapport [a,b,c,d]?
7. Déterminer rapidement une homographie transformant le cercle de centre 0 et de rayon 1 en la droite y=x, puis les déterminer toutes.
Pouvez-vous me donner quelques indications, je ne vois pas du tout comment partir et comment raisonner
Merci beaucoup
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