Etude de fonction (arc sin)

[invite01b26842]

Bonjour,

Pouvez vous m'aider svp !
Soit une fonction f, tel que f(x)=arcsin(sin(x)) .
-Comment montrer quelle est impaire ?
-Comment en deduire une expression de f(x) contenant pas la fonction arcsin ?


merci beaucoup
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[aNyFuTuRe-]

Si f est bijective de D dans D et impaire, alors sa bijection réciproque f-1 est impaire. EN gros puisque sin est impair sa réciproque l'est aussi et attention aux intervalles !

[invite563835f6]

Tu as x:sinx qui réalise une bijection de R sur [-1,1] en s'annulant pour x=0[pi]


tu as:
qq soit x dans [-1,1], il existe y dans [-pi/2/pi/2] tel que x=siny. de plus -x est dans [-1,1]:
arcsin(-x)=arcsin(-siny)
=arcsin(sin(-y)) car sin est impaire
=-y car -y est dans [-pi/2,pi/2]
=-arcsinx

donc tu as montré que x:arcsinx est impaire sur [-1,1]

ensuite, tu utilises le théoreme de la dérivée de la fonction réciproque en faisant attention à l'annulation de la fonction sinx ! Tu dois bien avoir ce théoreme ds ton cours, cherche bien...
Pour indication,
(arcsinx)'=1/racine(1-x²)

bonne chance