Démontrer une limite d'une fonction Sin

[invite84d6700e]

Voici ma question 2 et 3:


Q.2 Je dois démontrer que la limite en (0,0) de la fonction sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2) = 1 à l'aide de la définition.

Je suis capable d'arriver à 1 mais j'utilise un changement de variable. Cependant, je me dois d'utiliser la définition( je crois qu'il s'agit d'utiliser epsilon(e) et delta(d)

Q.3 Peut-on prolonger par continuité les fonctions suivantes en (0,0)
a) sin(x+y)/(x+y)
b) (cosx -1 -x^2/2)/(x^4+y^4)
c)sin(xy)/(x^2+y^2)

Si vous avez le temps et le désir, un peu d'aide serait la bienvenue.
merci
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[invite55c88d9c]

Salut,
le but de la question 2) est d'utiliser la definition donc considérons
epsilon=e strictement positif .
L'objectif est de déterminer delta=d tel que :
pour tout u dans la boule fermée de centre (0,0) et de rayon d (), on est |f(u)|=< e.
(=< signifie inferieur ou égale)
On sait que pour tout z réel

ceci d'aprés l'inégalité de Taylor Lagrange.
donc pour tout (x,y) different du couple nul on a :

donc si (x,y) est dans la alors
Finalement si on prend on montre le résultat.

[invite84d6700e]

Merci bcp de ton aide