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Démontrer une limite d'une fonction Sin



  1. #1
    integra11

    Démontrer une limite d'une fonction Sin


    ------

    Voici ma question 2 et 3:


    Q.2 Je dois démontrer que la limite en (0,0) de la fonction sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2) = 1 à l'aide de la définition.

    Je suis capable d'arriver à 1 mais j'utilise un changement de variable. Cependant, je me dois d'utiliser la définition( je crois qu'il s'agit d'utiliser epsilon(e) et delta(d)

    Q.3 Peut-on prolonger par continuité les fonctions suivantes en (0,0)
    a) sin(x+y)/(x+y)
    b) (cosx -1 -x^2/2)/(x^4+y^4)
    c)sin(xy)/(x^2+y^2)

    Si vous avez le temps et le désir, un peu d'aide serait la bienvenue.
    merci

    -----

  2. #2
    smt

    Re : Démontrer une limite d'une fonction Sin

    Salut,
    le but de la question 2) est d'utiliser la definition donc considérons
    epsilon=e strictement positif .
    L'objectif est de déterminer delta=d tel que :
    pour tout u dans la boule fermée de centre (0,0) et de rayon d (), on est |f(u)|=< e.
    (=< signifie inferieur ou égale)
    On sait que pour tout z réel

    ceci d'aprés l'inégalité de Taylor Lagrange.
    donc pour tout (x,y) different du couple nul on a :

    donc si (x,y) est dans la alors
    Finalement si on prend on montre le résultat.
    Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire arrivent aisément.[BOILEAU]

  3. #3
    integra11

    Re : Démontrer une limite d'une fonction Sin

    Merci bcp de ton aide

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