Cos(x),Sin(x),Tg(x) en fonction de tg(x/2)

[Bleyblue]

Bonjour,

J'aimerais bien pouvoir démontrer que :

si








Pour ce qui est de tg(x) j'y arrive en partant des formules de l'angle double et posant A = x/2 si :



Mais je n'y parvient pas pour Cos(s) et sin(x). Pouvez vous m'aidez ?

Merci
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[invitef2853e5d]

Euh tan c' est pas égale a cos/sin ou sin/cos??

A partir de la tu remplace tout non?

[Bleyblue]

Ben non parce que tout ce que je parvient à faire avec ça c'est :



Merci

[zoup1]

Mais non, c'est pas cela qu'il dit Leonpolou..

Tu pars de l'expression en t ; et tu remplaces t par sin/cos ...
et puis ensuite tu utilise et et
et tout va tout seul...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef2853e5d]

De toute facon en trigo je suis nul moi

[zoup1]

Ce que dis mon message, c'est que tu proposes effectivement la bonne façon de faire mais que Zazeglu a fais autre chose (je sais pas très bien quoi d'ailleurs). Pour info donc tg= sin/cos ca peut toujours servir...

[Bleyblue]

Ok j'essaie

Merci

[Bleyblue]

Ben tg(x/2) c'est et non pas + t² donc je ne peux pas appliquer la formule fondamentale donc je cale

[invite6cb8e079]

souviens toi de trois choses : 1/cos²(x)=1+tg²(x), sin(u)=2sin(u/2)cos(u/2) et cos(u)=cos²(u/2)-sin²(u/2). En bricolant avec cela, tu retrouveras les expressions en fonction de t que tu cherches.

[invite00411460]

ici il aura suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par cos²(x/2) puis d'utiliser les relations générales : cos²(x)+sin²(x) = 1 et sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

[inviteea95de08]

les maths sont un jeu où on se trompe : tu commences par poser t=tg(x/2) et tu finis par tg(x/2)=2t/(1-t²), c'est fort. Mais ça me l'a fait aussi ,rassure-toi.
si t=tg(x/2) et s=sin(x/2) et c=cos(x/2) on a :
sinx=2sc , cosx=c²-s² et donc tgx=2sc/(c²-s²)=2t/(1-t²) en divisant par c² comme t'as trouvé.
2t/(1+t²)=2s/c / (1+s²/c²)=2sc / (c²+s²)=sinx . (La démo à l'envers est + simple).
de même (1-t²) / (1+t²) = (1-s²/c²) / (1+s²/c²)=(c²-s²) / (c²+s²)=cosx.
bien sûr, il ne faut pas quitter de l'oeil c² qui ne doit pas être nul. or qd c=0 t qui vaut s/c n'est pas défini ce qui règle le pb : on a bien tjrs c non nul.

[Bleyblue]

Daccord, merci bcp à tous !!
C'est que je doit utiliser ce changement de variable dans mes primitives mais ça m'ennuiait de ne pas savoir démontrer ...

[invitec469a6d1]

c bine ttout ca

[inviteaf76c25a]

Pour cos(x) :
on sait que ( cos(2a) = cos(a)^2 -sin(a)^2 )

on a cos(x) = cos(2(x/2)) = cos(x/2)^2-sin(x/2)^2 ( ici a=(x/2) )

on peut ecrire cette derniere sous forme :

cos(x) = (cos(x/2)^2-sin(x/2)^2)/ cos(x)^2 + sin(x)^2 car cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1

cos(x) = cos(x/2)^2 ( 1- (sin(x/2)^2/cos(x/2)^2)/cos(x/2)^2 (1 + (sin(x/2)^2/cos(x/2)^2 )

cos(x) = ( 1- (sin(x/2)^2/cos(x/2)^2)/(1 + (sin(x/2)^2/cos(x/2)^2 )

cos(x) = ( 1- tg(x/2)^2)/(1 + tg(x/2)^2 )


cos(x) = ( 1-t^2)/(1+t^2)

la même chose pour sinus ( tu divise par cos(x/2)^2+sin(x/2)^2 et tu factorise par cos(x/2)^2 et voila tout se passe bien )

[gg0]

8 ans après ?

[stefjm]

Quelle est la définition mathématique du temps?