Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaye donc d'exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos. Voici comment je procède :

Posons

On a sauf si c'est à dire sauf si k entier

c'est à dire

donc

sauf si tg(x) = 0

J'en déduis que :

si cos x > 0 et sin(x) non nul

et

si cos x < 0 et sin(x) non nul

Mais en donnant des valeurs à x et en entrant ça dans ma calculatrice il me semble qu'on a plutôt :

pour tout x sauf si sin(x) = 0

Quelles erreurs ais-je donc commis ?

merci !
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[invite303d0012]

Bonjour,


On a sauf si c'est à dire sauf si k entier

c'est à dire

donc

sauf si tg(x) = 0

C'est une equation du second degré n'est-ce-pas ? Et delta??

[Bleyblue]

eh bien donc c'est bien juste

[invitebb921944]

Et pourquoi as-tu choisi cette solution et non la seconde ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Je propose plus court:


Amicalement,
rvz

NB : C'est rigolo, mais je crains qu'on n'ait pas la même chose...

Bonjour,

J'essaye donc d'exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos. Voici comment je procède :

Posons

On a sauf si c'est à dire sauf si k entier

c'est à dire

donc

sauf si tg(x) = 0

J'en déduis que :

si cos x > 0 et sin(x) non nul

et

si cos x < 0 et sin(x) non nul

Mais en donnant des valeurs à x et en entrant ça dans ma calculatrice il me semble qu'on a plutôt :

pour tout x sauf si sin(x) = 0

Quelles erreurs ais-je donc commis ?

merci !

[Bleyblue]

NB : C'est rigolo, mais je crains qu'on n'ait pas la même chose...

Si si on mutliplie ta solution par (1- cos x)/( 1 - cos x) on retrouve (1 - cos x)/sin x

Mais évidemment j'ai supposé cos x différent de 1 c'est à dire sin x non nul.
Ta solution est donc meilleur.

Reste à trouver ou se situe mon erreur (= pq je tombe sur une solution "fausse")

Et pourquoi as-tu choisi cette solution et non la seconde ?

Car j'ai tracer les deux graphes et j'en ai conclus que la première était égale à tg(x/2) la ou elle est définie

Ca m'agace d'être un étudiant en math et de pas être capable de m'en sortir dans des raisonnements pareils qui sont à priori assez simple en comparaison avec ce qu'on me fait faire aux cours

merci

[invite35452583]

Reste à trouver ou se situe mon erreur (= pq je tombe sur une solution "fausse")

Car j'ai tracer les deux graphes et j'en ai conclus que la première était égale à tg(x/2) la ou elle est définie

Avec ton raisonnement tu aboutis à (je laisse l'ambiguité un peu plus loin sur le signe) tg(x/2)= avec e(x)=+/-1, fonction a priori de x.
Sans graphe (il faudrait que j'apprenne un jour à en produire sur internet ) :
tg(x/2) est 2 pi périodique, croît de -infini en -pi(+) à +infini en +pi(-) et s'annule en 0. tg est continue sur ]-pi;+pi[, 1/sin(x) est continue sur ]-pi,0[ donc il en est de même de -cos(x)+e(x) ce qui impose trivialement e constant sur cet intervalle (e-) ainsi que sur l'intervalle ]0;pi[ par le même type de raisonnement (e+)
e- et e+ ont-ils même valeur et laquelle ?
tg (x/2) est continue en 0. Or sin(x) tend vers 0 en x=0, il faut donc que -cos(x)+e' tende vers 0 (e'=e- ou e+) mais ceci impose e'=1, ainsi e-=e+=1 et il n'y a qu'une formule tg(x/2)=(1-cos(x))/sin(x).
Ton erreur est donc sur le choix entre les deux racines de ton binôme et donc sur tes graphes (et ça il n'y a que toi qui les a ).

[Bleyblue]

Avec ton raisonnement tu aboutis à (je laisse l'ambiguité un peu plus loin sur le signe) tg(x/2)= avec e(x)=+/-1, fonction a priori de x.
Sans graphe (il faudrait que j'apprenne un jour à en produire sur internet ) :
tg(x/2) est 2 pi périodique, croît de -infini en -pi(+) à +infini en +pi(-) et s'annule en 0. tg est continue sur ]-pi;+pi[, 1/sin(x) est continue sur ]-pi,0[ donc il en est de même de -cos(x)+e(x) ce qui impose trivialement e constant sur cet intervalle (e-) ainsi que sur l'intervalle ]0;pi[ par le même type de raisonnement (e+)
e- et e+ ont-ils même valeur et laquelle ?
tg (x/2) est continue en 0. Or sin(x) tend vers 0 en x=0, il faut donc que -cos(x)+e' tende vers 0 (e'=e- ou e+) mais ceci impose e'=1, ainsi e-=e+=1 et il n'y a qu'une formule tg(x/2)=(1-cos(x))/sin(x).

Jusque la ça va.

Mais comment se fait-il que j'ai pu commettre une erreur dans mon raisonnement ? J'ai simplement appliquer la formule donnant les solutions d'une équation du second degré ... tu parles de choix ... je ne vois pas bien

merci

[invite35452583]

Jusque la ça va.

Mais comment se fait-il que j'ai pu commettre une erreur dans mon raisonnement ? J'ai simplement appliquer la formule donnant les solutions d'une équation du second degré ... tu parles de choix ... je ne vois pas bien

merci

Le choix est là :

c'est à dire

donc

Ton binôme admet deux solutions, ton + devant fait le choix particulier d'une des deux racines.

[Bleyblue]

Mais je n'ai mis un + que parceque le +/- est apparut naturellement avec le |cos(x)| ce qui donne bien deux solutions en fonction du signe du cosinus.

non ?

merci