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Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos



  1. #1
    Bleyblue

    Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos


    ------

    Bonjour,

    J'essaye donc d'exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos. Voici comment je procède :

    Posons

    On a sauf si c'est à dire sauf si k entier

    c'est à dire

    donc

    sauf si tg(x) = 0

    J'en déduis que :

    si cos x > 0 et sin(x) non nul

    et

    si cos x < 0 et sin(x) non nul

    Mais en donnant des valeurs à x et en entrant ça dans ma calculatrice il me semble qu'on a plutôt :

    pour tout x sauf si sin(x) = 0

    Quelles erreurs ais-je donc commis ?

    merci !

    -----

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  3. #2
    zélion

    Re : Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Bonjour,


    On a sauf si c'est à dire sauf si k entier

    c'est à dire

    donc

    sauf si tg(x) = 0
    C'est une equation du second degré n'est-ce-pas ? Et delta??
    Pour ceux qui affirment que 1+1=1, alors 1+1+1+1+1+1+1+1+1=?

  4. #3
    Bleyblue

    Re : Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

    eh bien donc c'est bien juste

  5. #4
    invite43219988

    Re : Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

    Et pourquoi as-tu choisi cette solution et non la seconde ?

  6. #5
    rvz

    Re : Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

    Salut,

    Je propose plus court:


    Amicalement,
    rvz

    NB : C'est rigolo, mais je crains qu'on n'ait pas la même chose...

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Bonjour,

    J'essaye donc d'exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos. Voici comment je procède :

    Posons

    On a sauf si c'est à dire sauf si k entier

    c'est à dire

    donc

    sauf si tg(x) = 0

    J'en déduis que :

    si cos x > 0 et sin(x) non nul

    et

    si cos x < 0 et sin(x) non nul

    Mais en donnant des valeurs à x et en entrant ça dans ma calculatrice il me semble qu'on a plutôt :

    pour tout x sauf si sin(x) = 0

    Quelles erreurs ais-je donc commis ?

    merci !
    Dernière modification par rvz ; 16/07/2007 à 20h04. Motif: Différence avec résultat de Bleyblue

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bleyblue

    Re : Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

    Citation Envoyé par rvz
    NB : C'est rigolo, mais je crains qu'on n'ait pas la même chose...
    Si si on mutliplie ta solution par (1- cos x)/( 1 - cos x) on retrouve (1 - cos x)/sin x

    Mais évidemment j'ai supposé cos x différent de 1 c'est à dire sin x non nul.
    Ta solution est donc meilleur.

    Reste à trouver ou se situe mon erreur (= pq je tombe sur une solution "fausse")

    Citation Envoyé par ganash
    Et pourquoi as-tu choisi cette solution et non la seconde ?
    Car j'ai tracer les deux graphes et j'en ai conclus que la première était égale à tg(x/2) la ou elle est définie

    Ca m'agace d'être un étudiant en math et de pas être capable de m'en sortir dans des raisonnements pareils qui sont à priori assez simple en comparaison avec ce qu'on me fait faire aux cours

    merci

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  10. #7
    homotopie

    Re : Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Reste à trouver ou se situe mon erreur (= pq je tombe sur une solution "fausse")

    Car j'ai tracer les deux graphes et j'en ai conclus que la première était égale à tg(x/2) la ou elle est définie
    Avec ton raisonnement tu aboutis à (je laisse l'ambiguité un peu plus loin sur le signe) tg(x/2)= avec e(x)=+/-1, fonction a priori de x.
    Sans graphe (il faudrait que j'apprenne un jour à en produire sur internet ) :
    tg(x/2) est 2 pi périodique, croît de -infini en -pi(+) à +infini en +pi(-) et s'annule en 0. tg est continue sur ]-pi;+pi[, 1/sin(x) est continue sur ]-pi,0[ donc il en est de même de -cos(x)+e(x) ce qui impose trivialement e constant sur cet intervalle (e-) ainsi que sur l'intervalle ]0;pi[ par le même type de raisonnement (e+)
    e- et e+ ont-ils même valeur et laquelle ?
    tg (x/2) est continue en 0. Or sin(x) tend vers 0 en x=0, il faut donc que -cos(x)+e' tende vers 0 (e'=e- ou e+) mais ceci impose e'=1, ainsi e-=e+=1 et il n'y a qu'une formule tg(x/2)=(1-cos(x))/sin(x).
    Ton erreur est donc sur le choix entre les deux racines de ton binôme et donc sur tes graphes (et ça il n'y a que toi qui les a ).

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

    Citation Envoyé par homotopie
    Avec ton raisonnement tu aboutis à (je laisse l'ambiguité un peu plus loin sur le signe) tg(x/2)= avec e(x)=+/-1, fonction a priori de x.
    Sans graphe (il faudrait que j'apprenne un jour à en produire sur internet ) :
    tg(x/2) est 2 pi périodique, croît de -infini en -pi(+) à +infini en +pi(-) et s'annule en 0. tg est continue sur ]-pi;+pi[, 1/sin(x) est continue sur ]-pi,0[ donc il en est de même de -cos(x)+e(x) ce qui impose trivialement e constant sur cet intervalle (e-) ainsi que sur l'intervalle ]0;pi[ par le même type de raisonnement (e+)
    e- et e+ ont-ils même valeur et laquelle ?
    tg (x/2) est continue en 0. Or sin(x) tend vers 0 en x=0, il faut donc que -cos(x)+e' tende vers 0 (e'=e- ou e+) mais ceci impose e'=1, ainsi e-=e+=1 et il n'y a qu'une formule tg(x/2)=(1-cos(x))/sin(x).
    Jusque la ça va.

    Mais comment se fait-il que j'ai pu commettre une erreur dans mon raisonnement ? J'ai simplement appliquer la formule donnant les solutions d'une équation du second degré ... tu parles de choix ... je ne vois pas bien

    merci

  12. #9
    homotopie

    Re : Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message
    Jusque la ça va.

    Mais comment se fait-il que j'ai pu commettre une erreur dans mon raisonnement ? J'ai simplement appliquer la formule donnant les solutions d'une équation du second degré ... tu parles de choix ... je ne vois pas bien

    merci
    Le choix est là :
    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message

    c'est à dire

    donc

    Ton binôme admet deux solutions, ton + devant fait le choix particulier d'une des deux racines.

  13. #10
    Bleyblue

    Re : Exprimer tg(x/2) en fonction de sin et cos

    Mais je n'ai mis un + que parceque le +/- est apparut naturellement avec le |cos(x)| ce qui donne bien deux solutions en fonction du signe du cosinus.

    non ?

    merci

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