Bonjour,
Comment définit-on en général une rotation pour des dimensions supérieures à deux?
Une rotation plane représente un une circulation sur un cercle.
En trois dimensions, on envisage souvent la rotation alors comme une rotation plane ou une composition de rotation plane dans un espace à trois dimensions.
Mais comment représenter une rotation des trois dimensions? Comme une sphère?
Merci d'avance.
Salut !
en 3 dimension une rotation ce caractérise par son axe et un angle (rotation atour d'un axe)
en dimension supérieux ca ce complique, on apelle rotation une isométrie de determinent 1 (ie une transformation qui conserve les longeur et les angles orienté) si mes souvenir sont bon, on peut décomposer toute les rotations de R^n en la composition d'au plus n/2 rotation autour d'un axe, mais j'en suis plus absoluement sur...
Bonjour.
En dimension 3, une rotation se fait autour d'un cylindre et non d'une sphèreEnvoyé par EspritTordu
Mais comment représenter une rotation des trois dimensions? Comme une sphère?.
Que voulez-dire? n/2?si mes souvenir sont bon, on peut décomposer toute les rotations de R^n en la composition d'au plus n/2 rotation autour d'un axe, mais j'en suis plus absoluement sur...
Une des rotations les plus courantes en dimensions 4 est celle de la rapidité dans la relativité restreinte (pour le fait, je fais confiance à Poincarré qui est semble-t-il, il y a voilà un siècle, est l'auteur de la remarque). Mais difficile de s'en faire une image, déjà rien que pour la quatrième dimension! Est-ce possible néanmoins?
D'un cylindre? ne serait-ce pas plutôt d'un disque? ou bien alors, la rotation 3D serait alors une hélice (mathématique)?En dimension 3, une rotation se fait autour d'un cylindre et non d'une sphère
Ma question est un peu brouillonne, mais mon idée n'est pas très clair non plus
S'il vous plaît soyez indulgent!
Mais la rotation en 2D dessine un cerle, c'est-à-dire un polygone fermé, revenant sur son point initial ; d'où la définition du modulo 2pi pour les fonctions trigonométriques. Le cercle couvre toute les possibilités de points (et la surface) contraints par la conservation des longueurs, et des angles.
Maintenant en 3D, on peut mettre en oeuvre la rotation 2D (la rotation plane) et cela se définit par un axe et un angle toujours, mais cela reste dans le plan et n'est pas le reflet similaire en 3D comme précédemment en 2D...
La rotation en 3D se fait autour d'un axe, et tous les points de l'espace "bougent" dans des plans parallèles (orthogonaux à l'axe). Donc oui, une rotation de l'espace se rapporte à une rotation du plan si l'on considère UN seul point.
C'est d'ailleurs ce que l'on fait en général pour des isométries d'un espace à n dimension: se ramener à l'espace de dimension (n-1) que l'on connaît.
Ici je parlais de la rotations de points.
Après si tu veux modéliser le MOUVEMENT de rotation d'un solide dans l'espace, tu auras besoin des 3 angles d'Euler (rotation propre, nutation, précession). Mais il ne faut pas confondre l'isométrie et le mouvement à mon sens.
n est la dimension de R^n.
Le notion d'isométrie étant par définition liée à la notion de distance, la notion de rotation en 4D minkowskien n'est pas la même qu'en 4D euclidien. Les "images" que l'on peut se faire de l'un et l'autre cas sont très différentes.
Il faut distinguer ce qui se passe dans un espace affine et un espace vectoriel. En "espace plat" (e.g., euclidien) il y a une relation entre les isométries affines qui conservent au moins un point et les isométries vectorielles.D'un cylindre? ne serait-ce pas plutôt d'un disque? ou bien alors, la rotation 3D serait alors une hélice (mathématique)?
Manifestement, la discussion porte sur le cas vectoriel, et non pas affine (par exemple en affine 2D, l'orbite d'un point par une isométrie n'est pas nécessairement un cercle!).
Ben non. Mais la liste des propriétés en 2D qui ne s'étendent pas en 3D ou plus est fort longueMais la rotation en 2D dessine un cercle (...) et n'est pas le reflet similaire en 3D comme précédemment en 2D
Cordialement,
C'est-à-dire?Manifestement, la discussion porte sur le cas vectoriel, et non pas affine (par exemple en affine 2D, l'orbite d'un point par une isométrie n'est pas nécessairement un cercle!).
pour faire simple :
un isométrie vectorielle, c'est une isométrie qui conserve l'origine (ie un certain point)
un isométrie affine, c'est une transformation quelconque.
dans l'espace euclidien de dimension 3. une isométrie vectorielle est une rotation autour d'un axe., une isométrie affine c'est une rotation autour d'un axe plus une translation le long de cette axe (ceci s'apelle un vissage).
evite de prendre l'image de la rotation de la relativité qui st une rotation hyperbolique, qui est tous de meme nettement naturel (en effet ce n'est pas une rotation qui conserve la distance usuelle d²=x²+y²+z²+v², mais qui conserve la quantité d²=x²+y²+z²-t²) par exemple, si on regarde dans le plan (un axe de distance, et un axe de temps) la rotation hyperbolique "dessinerai" (pour reprendre les images que tu donne) non pas un cercle, mais une hyperbole...
je te fais remarquer au passage que de dire "qu'une rotation dessine un cercle" na pas vraiment de sens en sois. d'ailleur on peut dire cela en 2D et en 3D, mais en dimension supérieur on ne peut plus rien dire de telle...
enfait, pour déssiner ce cercle, tu prendre l'ensemble des images d'un point par des rotation dont l'angle varie entre 0 et un angle fixe.
en 3d tu peut encore faire cela.
mais en dimension supérieur une rotation ce caractérise par plusieur angle (2 en dimension 4 et 5, 3 en dimension 6 et 7.. etc etc...) donc tu as deux angle a faire varier et donc une infinité de facon de les faire varier... tu ne peut plus vraiment dire que la rotation dessine quelque chose...
Je dois juste programmer un truc en 3d quelques questions :
j'ai deux points A et B, avec comme milieu C, C qui définit donc le plan, puisqu'il y a maintenant 3 points !
Comment faire une rotation du vecteur AB tout en restant dans le même plan de dpérat formé par A,B,C...
Si vous auriez une application algébrique à me proposer. La plus simple si possible !
3 points définissent un plan unique s'ils ne sont pas alignés! Or ici ton milieu est nécéssairement aligné avec A et B
Oui désolé, je repose ma question et mon problème :3 points définissent un plan unique s'ils ne sont pas alignés! Or ici ton milieu est nécéssairement aligné avec A et B
J'ai deux points A ,B, C qui définissent un plan dans le répère x,y,z.
Comment faire une rotation du vecteur AB tout en restant dans le même plan de départ formé par A,B,C...
Si vous auriez une application algébrique à me proposer. La plus simple si possible !
Voilà
Merci encore, je suis assez nul en math
Eh bien tu peux faire une rotation d'angle quelconque (nul compris), autour de la normale à ton plan.
et tu peut trouver la normale a ce plan en calculan AB vectorielle BC par exemple (qui sera non nul des que les point sont non aligné)
Merci, mais sérieusement çà ne m'aide pas beaucoup.
J'ai pas fais d'étude scientifique, et donc le langage mathématique, je suis un peu perdu. C'est pour celà que j'ai demandé un minimun une petite application algébrique.
Je ne comprends pas trop ce que tu entends par "application algébrique" ?Merci, mais sérieusement çà ne m'aide pas beaucoup.
J'ai pas fais d'étude scientifique, et donc le langage mathématique, je suis un peu perdu. C'est pour celà que j'ai demandé un minimun une petite application algébrique.
Une application un exemple
Je reprend :
J'ai deux points A ,B, C qui définissent un plan dans le répère x,y,z.
Comment faire une rotation du vecteur AB tout en restant dans le même plan de départ formé par A,B,C...
Une rotation dans l'espace se fait autour d'un axe. Par exemple, une porte tourne autour de l'axe de ses gonds.
Maintenant, tu prends un axe perpendiculaire à ton plan (ABC) (comme l'axe des gonds par rapport à ton sol ).
Maintenant, toute rotation autour de cet axe laissera le vecteur AB dans le plan (ABC)
oki donc aurais-tu juste une simple application numérique à me faire ?Une rotation dans l'espace se fait autour d'un axe. Par exemple, une porte tourne autour de l'axe de ses gonds.
Maintenant, tu prends un axe perpendiculaire à ton plan (ABC) (comme l'axe des gonds par rapport à ton sol ).
Maintenant, toute rotation autour de cet axe laissera le vecteur AB dans le plan (ABC)
Je te rapelle que je suis pas du tout matheux, donc...
Je ne vois pas quelle application numérique je peux te faire puisque c'est de la géométrie...
Par exemple, dans le plan (0,x,y) contenant A(1,0,0) et B(0,1,0), donc le vecteur AB, la rotation dirigée par le vecteur k(0,0,1) d'angle pi/7 (au pif) laisse le vecteur AB dans le plan (oxy).
A vu de nez, je dirais que tu as deux équations l'une utilisant le produit vectoriel, l'autre le produit scalaire.
Donc pour ta rotation, on va dire que tu gardes B invariant.
On va aussi dire que, d'après ton équation du plan, tu en as tiré le vecteur normal auplan (on va lappeler N)
On aura :
1) BA.BA'=cos(angle de rotation)/Norme(BA)²
2) BA'xN=vecteur nul (les vecteurs sont perpendiculaires)
et il te faut une troisième équation parce que tu as trois inconnues (x',y',z'), et cette équation est celle du plan.
c'est une ébauche avec mes maths de cuisine, mais ça devrait le faire...
ça te parait clair ?
Salut !
il y a une belle formule pour Obtenir la matrice d'une rotation en fonction des coordoné de son axe et de son angle.
dans l'ordre il faut que :
tu cherche l'axe de ta rotation, ca c'est le vecteur normale au plan, que tu peut obtenir en faisant AB vectorielle BC (tu sais faire ca ?)
une fois que tu as ton vecter normale N, tu le divise par ca norme pour avoir une vecteur de norme 1, dont les coordoné seront noté par la suite a.x,a.y,a.z (je reprend un code en C que j'ai ecrit il y a quelque temps c'est pour ca...)
ensuite si on appelle c et s le cosinus et le sinus de l'angle de la rotation, l'image d'une vecteur [x,y,z] par la rotation est le vecteur :
x'=x*(a.x*a.x*(1-c)+c)+y*(a.x*a.y*(1-c)-a.z*s)+z*(a.x*a.z*(1-c)+a.y*s),
y'=x*(a.x*a.y*(1-c)+a.z*s)+y*(a.y*a.y*(1-c)+c)+z*(a.y*a.z*(1-c)-a.x*s), z'=x*(a.x*a.z*(1-c)-a.y*s)+y*(a.y*a.z*(1-c)+a.x*s)+z*(a.z*a.z*(1-c)+c)
(simple non? mais il y a pas d'autre moyen je pense... )
donc apres ca depend qu'elle le centre de ta rotation, mais tu veux faire tourner le vecteur AB autour du point B, et bien l'image du vecteur AB par la transformation ecrite juste au dessu est le vecteur et le vecteur BA' (avec A' l'image de A par la rotation...)
Salut !
il y a une belle formule pour Obtenir la matrice d'une rotation en fonction des coordoné de son axe et de son angle.
dans l'ordre il faut que :
tu cherche l'axe de ta rotation, ca c'est le vecteur normale au plan, que tu peut obtenir en faisant AB vectorielle BC (tu sais faire ca ?)
une fois que tu as ton vecter normale N, tu le divise par ca norme pour avoir une vecteur de norme 1, dont les coordoné seront noté par la suite a.x,a.y,a.z (je reprend un code en C que j'ai ecrit il y a quelque temps c'est pour ca...)
ensuite si on appelle c et s le cosinus et le sinus de l'angle de la rotation, l'image d'une vecteur [x,y,z] par la rotation est le vecteur :
x'=x*(a.x*a.x*(1-c)+c)+y*(a.x*a.y*(1-c)-a.z*s)+z*(a.x*a.z*(1-c)+a.y*s),
y'=x*(a.x*a.y*(1-c)+a.z*s)+y*(a.y*a.y*(1-c)+c)+z*(a.y*a.z*(1-c)-a.x*s), z'=x*(a.x*a.z*(1-c)-a.y*s)+y*(a.y*a.z*(1-c)+a.x*s)+z*(a.z*a.z*(1-c)+c)
(simple non
donc apres ca depend qu'elle le centre de ta rotation, mais tu veux faire tourner le vecteur AB autour du point B, et bien l'image du vecteur AB par la transformation ecrite juste au dessu est le vecteur et le vecteur BA' (avec A' l'image de A par la rotation...)
MErci beaucoup Ksilver.
J'ai essayé, mais je pense que le résultat est faux, même si j'ai bien regardé 3 fois !!!
JE calcul les vecteur AB et BC
soit :
[xB-xA;yB-yA;zB-zA] = AB
d'où pour simplifier par la suite :
vecteur AB = [xAB;yAB;zAB] = [x;y;z]
pareil pour BC "" "" = [x';y';z']
Pour après on fait la norme N = AB^BC :
soit :
[yz'-zy';zx'-xz';xy'-yz']
Puis on divise par la norme du vecteur N = AB^BC
(yz'-zy')/(racine(yz'-zy'+zx'-xz'+xy'-yz')) + (zx'-xz')/(racine(yz'-zy'+zx'-xz'+xy'-yz')) +
(xy'-yz')/(racine(yz'-zy'+zx'-xz'+xy'-yz'))
çà revient à dire ton exemple de noms :
a.x ----> a = (racine(yz'-zy'+zx'-xz'+xy'-yz')) et x = (yz'-zy')
a.y ----> etc
a.z ---->etc
Puis je prend tes formules
avec comme angle c = cos(pi/3) et s = sin(pi/3)
Quand tu dis : "l'image d'une vecteur [x,y,z]" c'est bien les coordonnées du vecteur AB
Donc j'ai revérifié plusieurs fois sous excel çà ne colle pas..
A la fin pour voir si c'est juste il faut avoir la même distance entre le point de coordonnée [x',y',z'] (tes équations) le points A, et le point de coordonnée [x',y',z'] (tes équations) le points B. Puisque j'ai pris un angle de pi/3 soit 60°.
Où est l'erreur ????
Bonjour,
Rapidement parce que je n'ai pas beaucoup de temps, je lance une petite idée : pourquoi ne pas utiliser les quaternions s'il s'agit de faire des calculs informatiques de rotation 3D ? En effet cela simplifie considérablement la chose (tout comme les complexes simplifient les calculs pour les rotations 2D)
Oui, mettons de côté la relativité, mais avant quelle est la différence entre la distance et la quantité?evite de prendre l'image de la rotation de la relativité qui st une rotation hyperbolique, qui est tous de meme nettement naturel (en effet ce n'est pas une rotation qui conserve la distance usuelle d²=x²+y²+z²+v², mais qui conserve la quantité d²=x²+y²+z²-t²) par exemple, si on regarde dans le plan (un axe de distance, et un axe de temps) la rotation hyperbolique "dessinerai" (pour reprendre les images que tu donne) non pas un cercle, mais une hyperbole...
C'est vrai que je vais vite en confondant rotation et son image qu'est le cercle... Mais il y a une contrainte que je n'ai pas soulevé : en 2D la rotation passe par un point et un seul point avant de revenir au point initial... C'est-à-dire qu'au lieu de cylindre, avec cela, c'est nécessairement plutôt un tore (un cylindre fermé).
Citation:
En dimension 3, une rotation se fait autour d'un cylindre et non d'une sphère
D'un cylindre? ne serait-ce pas plutôt d'un disque? ou bien alors, la rotation 3D serait alors une hélice (mathématique)?
Une image me hante depuis le début de la discussion. Pour tout dire elle en est le moteur. J'ai du la voir ici ou là, mais je n'en souviens plus et impossible de mettre la main dessus sur une copie, même sur internet. Je vais essayer de la décrire : c'est une ligne enrobant au plus près, presque comme un hélice variable, une sphère, cette ligne continue dessine presque des parallèles (comme les latitudes), légèrement inclinée, du pôle sud au pôle nord de la dite sphère. C'est là que le bas blesse, pour revenir au point de départ, la ligne doit "artificiellement" plonger à la verticale depuis un pôle vers l'autre et ainsi reprendre sa course sur la surface de la sphère. J'espère être suffisamment intelligible dans ma description
A vrai dire je ne sais plus sur quel pied danser avec philnameBonjour,
Rapidement parce que je n'ai pas beaucoup de temps, je lance une petite idée : pourquoi ne pas utiliser les quaternions s'il s'agit de faire des calculs informatiques de rotation 3D ? En effet cela simplifie considérablement la chose (tout comme les complexes simplifient les calculs pour les rotations 2D), j'avais l'impression qu'il fallait revenir aux fondamentaux, mais apparemment l'explication de Ksilver lui convient.
philname : il y a déja une petite erreur , la norme c'est pas sqrt(x+y+z), mais sqrt(x²+y²+z²) (tu as oublié les ² a chaque fois)
donc ce n'est pas racine(yz'-zy'+zx'-xz'+xy'-yz'), mais racine((yz'-zy')²+(zx'-xz')²+(xy'-yz')²)
ca explique pourquoi la norme change avec la rotation.
ensuite quand je note a.x, c'est pas a*x, mais la coordoné x d'un vecteur a. (ce code etait programé en C++, donc objet, d'ou les ".")
ensuite, ce que je dis c'est que si AB a pour coordoné (x,y,z) (ie x= xA-xBny= etc...) alors le vecteur A'B a pour coordone x',y',z' donné par la formule monstrueuse de mon poste précedent.
Esprit Tordu :
"mais avant quelle est la différence entre la distance et la quantité?" quand je disait "quantité" ce n'est pas nom ! ce que je voulais dire c'est que dans l'espace euclidien classique (a 4 dimension) on dit que la norme d'un vecteur A c'est sqrt((Ax)²+(Ay)²+(Az)²+(At)²)
alors que dans l'espace de Minkowski, la norme d'un vecteur est sqrt((Ax)²+(Ay)²+(Az)²-(At)²)
et comme les rotation ce sont justement les transformation qui conserve la norme des vecteurs, les rotation de l'espace de Minkowski ne sont pas du tous les meme !
mais je comprend pas vraiment le deuxieme point donc tu parle
Bon, au départ, on a 3 points qui appartiennent au plan : A,B, et C
On va d'abord chercher à obtenir un vecteurnormal au plan (on se moque de savoir si il c'est un vecteur unitaire où non) :
- nécessairement ce vecteur est perpendiculaire à la fois à
donc, on à déjà déterminé ceci :
Une remarque, tu peux aussi obtenir un vecteur N de même direction, mais de sens à celui qu'on vient d'obtenir ici, en changeant intervertissant
Maintenant, on va chercher l'équation du plan dans l'espace :
- Un de ses vecteurs normal est
- Le plan passe par C (par exemple)
et on cherche tous les points
Que peut-on dire ? c'est que quelque soit M, si il appartient à ce plan, alor le vecteur
Du coup, le produit scalaire doit être nul quelque soit x,y, et z :
donc
donc on obtient
...qui est l'équation de notre plan dans l'espace
Rotation de
On a trois inconnues : x', y' et z'
Il nous faut donc trois équations :
- une pour dire que M' reste dans le plan
- une pour donner la distance du point M' au point C
- une pour caractériser l'angle que fait
La première nous est donnée par notre équation du plan :
La deuxième est :
pour la troisième on peut utiliser le produit scalaire :
donc
Résultat final :
Normalement, tu peux résoudre tout ça comme un grand
Accessoirement, pour te simplifier le calcul, passe par une valeur intermédiaire...
