Probabilités, facteur et boites aux lettres

[FAN FAN]

Bonjour,

Voici un problème subtil que je n'arrive pas à résoudre. J'ai bien trouvé des solutions, mais je suis quasiement sûr qu'elles sonr fausses, donc je ne les expose pas. Ce problème est extrait du livre de Métivier "Variables alèatoires":

Dans les q boites aux lettres d'un immeuble, un facteur est chargé de distribuer n lettres dont r_1 dans la boite (1), ..., r_q dans la boite (q).
Comme il y a une panne d'électricité et qu'il fait nuit, ce facteur distribut au hasard les lettres dans les boites (on suppose donc que la probabilité pour une lettre d'être mise dans une boite déterminée est 1/q).

1. Probabilité p_1 pour que la distribution soit correcte ?
2. Probabilité p_2 pour que la boite (1) soit correctement remplie ?
3. Probabilité p_3 pour que dans la boite (1), il n'y ait aucune lettre d'un voisin ?
4. Probabilité p_4 pour que dans la boite (1), il y ait exactement k lattres ?
5. Probabilité p_5 pour qu'au?cune boite soit vide (on suppose n >= q) ?
6. Probabilité p_6 pour que dans chaque boite, il y ait exactement le nombre de lettres qui lui était destiné.

Je crois que la bonne façon, au moins pour 1. et 2., est de considérer le noyau d'équivalence de l'application modélisant la distribution correcte:
(N_n -> N_q)

Merci à qui pourra m'aider...
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[Gwyddon]

Bonjour,

Voici un problème subtil que je n'arrive pas à résoudre. J'ai bien trouvé des solutions, mais je suis quasiement sûr qu'elles sonr fausses, donc je ne les expose pas. Ce problème est extrait du livre de Métivier "Variables alèatoires":

Je n'ai pas encore lu ce que tu dis, mais une chose est sûre : même si tu crois ta solution fausse, il faut nous la dire ! Ainsi on pourra voir ensemble où ça coince, et voir ce que tu as déjà fait

[FAN FAN]

Je n'ai pas encore lu ce que tu dis, mais une chose est sûre : même si tu crois ta solution fausse, il faut nous la dire ! Ainsi on pourra voir ensemble où ça coince, et voir ce que tu as déjà fait

Alors, par exemple, voilà ma solution pour 2. :
Il y a C(n,r_1) paquets de r_1 lettres et parmis ceux-ci un seul est correct pour la boite (1) donc :
Prob (sélection du bon paquet) = 1/C(n,r_1)
Mais 1/q chance de mettre ce paquet dans la boite (1)
Donc p_2 = 1/(qC(n,r_1))
Notation : C(n,r_1) = coefficient binomial.

Ma solution pour 1. :
La distribution correcte est une application déterminée de l'ensemble des n lettres dans les q boites parmis les q^n apllications possibles
d'où p_1 = 1/p_n.
Mais les applications qui permutent les ensembles de cardinaux r_1, ..., r_q des lettres ayant même destinataire ne sont pas à prendre en compte donc :
p_1 = (r_1!...r_q!)/q^n

Le problème, c'est qu'en faisant d'autres raisonnements qui semblent tout aussi justes, j'obtiens des solutions différentes...?
Par exemple pour 2. je fais le raisonnement suivant :

Si les r_1 lettres sont dans la boite (1), il reste n - r_1 lettres à distribuer dans q-1 boites ce qui peut se faire de (q-1)^(n-r_1) façons différentes d'où : p_2 = ((q-1)^(n-r_1))/q^n

[Garf]

Pour la 1) : pourquoi multiplier par les r_i! ? chaque lettre à 1/q chances d'être à la bonne place. Au final, il a 1/q^n chances d'avoir une bonne distribution.

En faisant intervenir les r_i, j'ai l'impression que tu considères comme espace de proba non plus les distributions des lettres, mais (distributions des lettres)x(ordre de distribution des lettres), quitte à numéroter les lettres. Dans ce cas, le calcul serait différent : p_1 = (Somme sur les ordres de distribution) 1/(n!.q^n). Les n! se simplifient, et tu obtiens le même résultat.


Pour ta première version du deux : tu ne calcules pas la bonne proba. Ce que tu calcule, c'est la proba que si le facteur fait un paquet de r_1 lettres, il remplisse correctement la première boîte avec.

Je prend l'espace (distributions des lettres). Je fais (proba que les r_1 lettres soient dans la boîte 1 et que les autres lettres soient dans d'autres boîtes)=(proba que les r_1 lettres soient dans la boîte 1)*(proba que les autres lettres soient dans d'autres boîtes), les deux évènements étant indépendants.
p_2 = 1/(q^r_1)*(1-1/q)^(n-r_1) = (q-1)^(n-r_1)/q^n.


Sinon, si tu as un doute, tu peux vérifier pour des cas particuliers (q=1, q=2...).

[A voir en vidéo sur Futura]

[FAN FAN]

Pour la 1) : pourquoi multiplier par les r_i! ? chaque lettre à 1/q chances d'être à la bonne place. Au final, il a 1/q^n chances d'avoir une bonne distribution.

En faisant intervenir les r_i, j'ai l'impression que tu considères comme espace de proba non plus les distributions des lettres, mais (distributions des lettres)x(ordre de distribution des lettres), quitte à numéroter les lettres. Dans ce cas, le calcul serait différent : p_1 = (Somme sur les ordres de distribution) 1/(n!.q^n). Les n! se simplifient, et tu obtiens le même résultat.
...).

Sauf erreur de ma part je ne suis pas d'accord avec toi sur l'évaluation p_1. q^n représente le nb d'applications de {n lettres} dans {q boites}. Mais parmis ces applications, celles qui laissent inchangées les r_i ne sont pas à prendre en compte d'où l'intervention des r_i!

[ericcc]

C'est pour ce genre de discussions oiseuses que j'ai toujours détesté les dénombrements. Et pour les paradoxes affreux du genre de la voiture derrière la porte.

[Garf]

Sauf erreur de ma part je ne suis pas d'accord avec toi sur l'évaluation p_1. q^n représente le nb d'applications de {n lettres} dans {q boites}. Mais parmis ces applications, celles qui laissent inchangées les r_i ne sont pas à prendre en compte d'où l'intervention des r_i!

Ah, tu vois les choses comme ça...
Bien, on parle bien des applications de {n lettres} dans {q boîtes}. L'image d'un lettre par une application est un boîte, d'accord ? Combien d'applications t'envoient chaque lettre vers la bonne boîte ? Un seule, celle qui à [lettre] associe [boîte de la personne à laquelle cette lettre est adressée].
Il est absurde de dire qu'une telle application "laisse inchangés les r_i" ; pour cela, il faudrait que ce soit une application de {n lettres} dans {n lettres}.


Ericcc : méchant.

[Gwyddon]

Bonjour,

Tout à fait d'accord avec Garf, et au passage ceci prouve que raisonner de manière très simple avec des dénombrements est (souvent) la bonne méthode, et non commencer à partir dans une formalisation souvent inutile confusante.

[FAN FAN]

Ah, tu vois les choses comme ça...
Bien, on parle bien des applications de {n lettres} dans {q boîtes}. L'image d'un lettre par une application est un boîte, d'accord ? Combien d'applications t'envoient chaque lettre vers la bonne boîte ? Un seule, celle qui à [lettre] associe [boîte de la personne à laquelle cette lettre est adressée].
Il est absurde de dire qu'une telle application "laisse inchangés les r_i" ; pour cela, il faudrait que ce soit une application de {n lettres} dans {n lettres}.


Ericcc : méchant.

D'accord, je faisais une grosse erreur.

[FAN FAN]

Rappel du problème :
Dans les q boites aux lettres d'un immeuble, un facteur est chargé de distribuer n lettres dont r_1 dans la boite (1), ..., r_q dans la boite (q).
Comme il y a une panne d'électricité et qu'il fait nuit, ce facteur distribut au hasard les lettres dans les boites (on suppose donc que la probabilité pour une lettre d'être mise dans une boite déterminée est 1/q).

1. Probabilité p_1 pour que la distribution soit correcte ?
2. Probabilité p_2 pour que la boite (1) soit correctement remplie ?
3. Probabilité p_3 pour que dans la boite (1), il n'y ait aucune lettre d'un voisin ?
4. Probabilité p_4 pour que dans la boite (1), il y ait exactement k lettres ?
5. Probabilité p_5 pour qu'aucune boite soit vide (on suppose n >= q) ?
6. Probabilité p_6 pour que dans chaque boite, il y ait exactement le nombre de lettres qui lui était destiné.

Merci des réponses pour 1. et 2. :
p_1 = 1/q^n et p_2 = ((q -1)^(n-r_1))/q^n

Voici ce que je trouve pour les les autres questions : (C(a,b) = a!/(b! (a-b)!))
p_3 = (sigma k=0 à r_1 [C(r_1,k) (q-1)^(n-k)])/q^n
p_4 = (C(n,k) (q-1)^(n-k))/q^n
p_5 = (surj(n,q))/q^n (surjection des n lettres dans les q boites)
p_6 = n!/(r_1!...r_q! q^n)

Si quelqu'un a eu la curiosité de chercher, trouve-t-il pareil ?