Somme

[invite767e7b2a]

Y a t-il moyen de calculer la somme de j=p à n de [j*( p parmi j )]?
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[inviteaf1870ed]

Regarde dans cette discussion :
http://forums.futura-sciences.com/thread200442.html

[invitec053041c]

*réponse inutile* (la miene bien-sûr).

[invite57a1e779]

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On s'y intéresse à , ce qui est bien plus facile que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Pas la dernière somme...

[invite57a1e779]

Pas la dernière somme...

Au temps pour moi, je n'avais pas lu le fil jusqu'au bout.

[inviteaf1870ed]

On s'y intéresse à , ce qui est bien plus facile que .

J'y ai réfléchi, en fait pour la somme simple on prend une diagonale NE/SO du triangle de Pascal. Pour montrer le résultat, il suffit de remarquer que le premier terme est qui est égal à . Ensuite on prend l'égalité classique de construction du Triangle de Pascal pour aboutir au résultat, en additionnant de proche en proche.

Une autre manière de voir qui permet je pense de résoudre le problème de est de voir la somme comme la somme des coefficients de x^p dans la somme (1+x)^p+(1+x)^p+1+....+(1+x)ⁿ. Il n'y a pas de termes en x^p dans les développements de (1+x)^j pour j<p, on peut donc considérer la somme [1+(1+x)+(1+x)²+...+(1+x)ⁿ]. La valeur cherchée est le coefficient de x^p dans cette somme.

Un calcul simple, en posant X=1+x, et en regardant la somme de la série géométrique aboutit au résultat cherché :

Pour , on doit y arriver en jouant avec les dérivées

[inviteaf1870ed]

Un calcul simple, en posant X=1+x, et en regardant la somme de la série géométrique aboutit au résultat cherché :

Pour , on doit y arriver en jouant avec les dérivées

Et je trouve