Comprendre mon erreur / continuité equivalence

[invited9f417a5]

Bonsoir à tous !
Je viens vous solliciter pour un petit problème d'autocorrection.

Alors enfaite c'est pour un exercice d'un DM ou l'on commence à étudier une fonction f(x)= 1/ln|x|

Par la suite, on nous demande :

On pose g(1)=0 et qqsoit x appartenant R+ -{1}, g(x)=f(x)+a/(x-1)+b.
Montrer qu'il existe un couple (a,b) tel que g soit continue en 1 et donner les valeurs de a et b.

Alors voila ce que j'ai fait :



Moi je trouve (-1,0) mais il faudrai enfaite trouver (-1,-1/2) ...
Bien sur je ne retrouve pas mon erreur :/

Si vous pouviez m'aider à comprendre.
Merci d'avance
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[invite8ebd7639]

Ton raisonnement est correct pour déterminer a, en revanche tu ne peux pas en déduire d'information sur b, a fortiori rien ne te dit que b vaut 0. Tu es en train de comparer quelque chose qui tend vers l'infini d'une part, et quelque chose qui tend vers l'infini plus une constante, donc la constante pourrait être n'importe quelle valeur !

Pour trouver b, il te faut déterminer un équivalent en 0 de la fonction 1/ln(x+1)-1/x.

[invitea07f6506]

Ton 1/ln(x) est "très grand" ; même si tu lui enlève quelque chose d'assez grand pour que ce soit fini en 1, rien ne te dit que le reste sera nul (donc "très petit"). Il peut y avoir une composante constante "masquée" par le terme très grand, mais non nulle.

En pratique, factorise tout (y compris le b) par 1/h (où h=x-1), et fais un DL de h/ln(1+h) à l'ordre 1. Cherche ensuite le couple (a,b) pour que ce que tu as factorisé soit en o(h), soit en multipliant par 1/h tel que g(1+h)=o(1) en 0 (c'est-à-dire g(1)=0).

[invited9f417a5]

merci bcp à vous, je tente ca des demain, jvous tien au courant !!

bonne soirée

[A voir en vidéo sur Futura]