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probléme d'ensemble



  1. #1
    thor_asgard

    probléme d'ensemble


    ------

    bonjour
    voila mon probléme :
    Soient E et F deux ensemble et f l'application de E dans F et g l'application de F dans E
    On pose b appartenant à F et on suppose que gof= (g rond f)
    pour tout y appartenant à F on suppose fog(y)=b ( f rond g)
    On pose également a =g(b)
    Montrer que l'ensemble E et F ne contiennent qu'un seul élément.

    Alors il faut tout d'abord montrer que E ne contient qu'un seul élément qui va étre en fait "a" donc il faut arriver a la fin du résonnement à x=a mais le probléme c'est que je n'arrive jamais a retomber sur ca : je suis partit du fait que fog=b donc gofog=g(b)ce qui donne Id(g)=g(b) mais aprés bloqué

    Ensuite pour montrer que F ne contient qu'un seul élément qui va étre "b" il faut arriver a la fin a : y=b
    Alors j'utilise le fait que f est surjective car gof=Id. Donc il existe x appartenant a E tel que pour tout y appartenant à F tel que que y=f(x)=f(a) car on a montré précédement que x=a .
    Mais enuite je me retrouve a nouveau bloqué dans ma démonstration
    Pourriez vous m'aider dans ma démonstration?
    merci d'avance
    au revoir

    -----

  2. #2
    thor_asgard

    Re : probléme d'ensemble

    une petite erreur de frappe dans l'énoncé gof=Id

  3. #3
    Geof

    Re : probléme d'ensemble

    Salut,

    Tu es bien parti, mais tu te compliques la vie pour rien
    Considère x dans E:
    f(x) est dans F, et donc par hypothèse, fog(f(x)) = b.
    Or, fog(f(x)) = f(gof(x)) = f(Id(x)) = f(x), donc f(x) = b.
    Tu sais que g(b) = a, donc gof(x) = Id(x) = x, d'un côté, et de l'autre, gof(x) = g(f(x)) = g(b) = a, d'où x=a.

    Je te laisse montrer que pour y dans F, alors y=b

    Geoffrey

  4. #4
    thor_asgard

    Re : probléme d'ensemble

    bonjour
    merci pour votre réponse
    mais je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur dans ma 2nd démonstration
    en effet je dit que f est surjective car gof=Id. Or f est injective car si gof=Id alors f est injective
    j'ai donc réctifié ma démonstration mais je me retrouve a la fin avec y=a
    donc un peu d'aide s'il vous plait
    merci d'avance
    au revoir

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    thor_asgard

    Re : probléme d'ensemble

    bonjour
    j'aimerais savoir ce que vous pensez de mon résonnement
    On sait que gof=IdE donc g est surjective d'aprés théoréme
    Donc il existe y appartenant à F tel que pour tout x appartenant à E
    x=g(y)
    f(x)= fog(y)
    f(x)=b
    Or y=f(x)
    Donc y= b
    Donc f ne contient qu'un seul élément
    voila donc si il y a une erreur ou des choses a préciser
    merci de me l'indiquer
    au revoir

  7. #6
    penelope

    Re : probléme d'ensemble

    Citation Envoyé par thor_asgard
    bonjour

    je suis partit du fait que fog=b donc gofog=g(b)ce qui donne Id(g)=g(b) mais aprés bloqué
    attention, tu mélanges applications et elemnts...
    fog est une application, et b un elt...pb
    pour tout y, fog(y)=b, donc gofog(y)=g(b)
    donc g(y)=g(b)..
    un doigt pointe vers la lune, tant pis pour celui qui regarde le doigt..

  8. #7
    penelope

    Re : probléme d'ensemble

    Citation Envoyé par thor_asgard
    bonjour
    j'aimerais savoir ce que vous pensez de mon résonnement
    On sait que gof=IdE donc g est surjective d'aprés théoréme
    Donc il existe y appartenant à F tel que pour tout x appartenant à E
    x=g(y)
    f(x)= fog(y)
    f(x)=b
    Or y=f(x)
    Donc y= b
    Donc f ne contient qu'un seul élément
    voila donc si il y a une erreur ou des choses a préciser
    merci de me l'indiquer
    au revoir
    tu as inversé tes quantificateurs : g surjective, donc pour tout x appartenant à E, il existe y appartenant à F tq x=g(y) ( si tu change x, y n'est pas forcement le même..)

    mais le qui te dit que y=f(x) ??
    un doigt pointe vers la lune, tant pis pour celui qui regarde le doigt..

  9. #8
    penelope

    Re : probléme d'ensemble

    Citation Envoyé par thor_asgard
    bonjour
    j'aimerais savoir ce que vous pensez de mon résonnement
    au revoir
    toi, tu raisonne...c'est la cloche qui résonne..
    un doigt pointe vers la lune, tant pis pour celui qui regarde le doigt..

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