probléme d'ensemble

[invite72ab54f9]

bonjour
voila mon probléme :
Soient E et F deux ensemble et f l'application de E dans F et g l'application de F dans E
On pose b appartenant à F et on suppose que gof= (g rond f)
pour tout y appartenant à F on suppose fog(y)=b ( f rond g)
On pose également a =g(b)
Montrer que l'ensemble E et F ne contiennent qu'un seul élément.

Alors il faut tout d'abord montrer que E ne contient qu'un seul élément qui va étre en fait "a" donc il faut arriver a la fin du résonnement à x=a mais le probléme c'est que je n'arrive jamais a retomber sur ca : je suis partit du fait que fog=b donc gofog=g(b)ce qui donne Id(g)=g(b) mais aprés bloqué

Ensuite pour montrer que F ne contient qu'un seul élément qui va étre "b" il faut arriver a la fin a : y=b
Alors j'utilise le fait que f est surjective car gof=Id. Donc il existe x appartenant a E tel que pour tout y appartenant à F tel que que y=f(x)=f(a) car on a montré précédement que x=a .
Mais enuite je me retrouve a nouveau bloqué dans ma démonstration
Pourriez vous m'aider dans ma démonstration?
merci d'avance
au revoir
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[invite72ab54f9]

une petite erreur de frappe dans l'énoncé gof=Id

[invitef6a8dd1c]

Salut,

Tu es bien parti, mais tu te compliques la vie pour rien
Considère x dans E:
f(x) est dans F, et donc par hypothèse, fog(f(x)) = b.
Or, fog(f(x)) = f(gof(x)) = f(Id(x)) = f(x), donc f(x) = b.
Tu sais que g(b) = a, donc gof(x) = Id(x) = x, d'un côté, et de l'autre, gof(x) = g(f(x)) = g(b) = a, d'où x=a.

Je te laisse montrer que pour y dans F, alors y=b

Geoffrey

[invite72ab54f9]

bonjour
merci pour votre réponse
mais je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur dans ma 2nd démonstration
en effet je dit que f est surjective car gof=Id. Or f est injective car si gof=Id alors f est injective
j'ai donc réctifié ma démonstration mais je me retrouve a la fin avec y=a
donc un peu d'aide s'il vous plait
merci d'avance
au revoir

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite72ab54f9]

bonjour
j'aimerais savoir ce que vous pensez de mon résonnement
On sait que gof=IdE donc g est surjective d'aprés théoréme
Donc il existe y appartenant à F tel que pour tout x appartenant à E
x=g(y)
f(x)= fog(y)
f(x)=b
Or y=f(x)
Donc y= b
Donc f ne contient qu'un seul élément
voila donc si il y a une erreur ou des choses a préciser
merci de me l'indiquer
au revoir

[invite1c6e02b6]

bonjour

je suis partit du fait que fog=b donc gofog=g(b)ce qui donne Id(g)=g(b) mais aprés bloqué

attention, tu mélanges applications et elemnts...
fog est une application, et b un elt...pb
pour tout y, fog(y)=b, donc gofog(y)=g(b)
donc g(y)=g(b)..

[invite1c6e02b6]

bonjour
j'aimerais savoir ce que vous pensez de mon résonnement
On sait que gof=IdE donc g est surjective d'aprés théoréme
Donc il existe y appartenant à F tel que pour tout x appartenant à E
x=g(y)
f(x)= fog(y)
f(x)=b
Or y=f(x)
Donc y= b
Donc f ne contient qu'un seul élément
voila donc si il y a une erreur ou des choses a préciser
merci de me l'indiquer
au revoir

tu as inversé tes quantificateurs : g surjective, donc pour tout x appartenant à E, il existe y appartenant à F tq x=g(y) ( si tu change x, y n'est pas forcement le même..)

mais le qui te dit que y=f(x) ??

[invite1c6e02b6]

bonjour
j'aimerais savoir ce que vous pensez de mon résonnement
au revoir

toi, tu raisonne...c'est la cloche qui résonne..