probléme d'ensemble
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probléme d'ensemble



  1. #1
    invite72ab54f9

    probléme d'ensemble


    ------

    bonjour
    voila mon probléme :
    Soient E et F deux ensemble et f l'application de E dans F et g l'application de F dans E
    On pose b appartenant à F et on suppose que gof= (g rond f)
    pour tout y appartenant à F on suppose fog(y)=b ( f rond g)
    On pose également a =g(b)
    Montrer que l'ensemble E et F ne contiennent qu'un seul élément.

    Alors il faut tout d'abord montrer que E ne contient qu'un seul élément qui va étre en fait "a" donc il faut arriver a la fin du résonnement à x=a mais le probléme c'est que je n'arrive jamais a retomber sur ca : je suis partit du fait que fog=b donc gofog=g(b)ce qui donne Id(g)=g(b) mais aprés bloqué

    Ensuite pour montrer que F ne contient qu'un seul élément qui va étre "b" il faut arriver a la fin a : y=b
    Alors j'utilise le fait que f est surjective car gof=Id. Donc il existe x appartenant a E tel que pour tout y appartenant à F tel que que y=f(x)=f(a) car on a montré précédement que x=a .
    Mais enuite je me retrouve a nouveau bloqué dans ma démonstration
    Pourriez vous m'aider dans ma démonstration?
    merci d'avance
    au revoir

    -----

  2. #2
    invite72ab54f9

    Re : probléme d'ensemble

    une petite erreur de frappe dans l'énoncé gof=Id

  3. #3
    invitef6a8dd1c

    Re : probléme d'ensemble

    Salut,

    Tu es bien parti, mais tu te compliques la vie pour rien
    Considère x dans E:
    f(x) est dans F, et donc par hypothèse, fog(f(x)) = b.
    Or, fog(f(x)) = f(gof(x)) = f(Id(x)) = f(x), donc f(x) = b.
    Tu sais que g(b) = a, donc gof(x) = Id(x) = x, d'un côté, et de l'autre, gof(x) = g(f(x)) = g(b) = a, d'où x=a.

    Je te laisse montrer que pour y dans F, alors y=b

    Geoffrey

  4. #4
    invite72ab54f9

    Re : probléme d'ensemble

    bonjour
    merci pour votre réponse
    mais je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur dans ma 2nd démonstration
    en effet je dit que f est surjective car gof=Id. Or f est injective car si gof=Id alors f est injective
    j'ai donc réctifié ma démonstration mais je me retrouve a la fin avec y=a
    donc un peu d'aide s'il vous plait
    merci d'avance
    au revoir

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite72ab54f9

    Re : probléme d'ensemble

    bonjour
    j'aimerais savoir ce que vous pensez de mon résonnement
    On sait que gof=IdE donc g est surjective d'aprés théoréme
    Donc il existe y appartenant à F tel que pour tout x appartenant à E
    x=g(y)
    f(x)= fog(y)
    f(x)=b
    Or y=f(x)
    Donc y= b
    Donc f ne contient qu'un seul élément
    voila donc si il y a une erreur ou des choses a préciser
    merci de me l'indiquer
    au revoir

  7. #6
    invite1c6e02b6

    Re : probléme d'ensemble

    Citation Envoyé par thor_asgard
    bonjour

    je suis partit du fait que fog=b donc gofog=g(b)ce qui donne Id(g)=g(b) mais aprés bloqué
    attention, tu mélanges applications et elemnts...
    fog est une application, et b un elt...pb
    pour tout y, fog(y)=b, donc gofog(y)=g(b)
    donc g(y)=g(b)..

  8. #7
    invite1c6e02b6

    Re : probléme d'ensemble

    Citation Envoyé par thor_asgard
    bonjour
    j'aimerais savoir ce que vous pensez de mon résonnement
    On sait que gof=IdE donc g est surjective d'aprés théoréme
    Donc il existe y appartenant à F tel que pour tout x appartenant à E
    x=g(y)
    f(x)= fog(y)
    f(x)=b
    Or y=f(x)
    Donc y= b
    Donc f ne contient qu'un seul élément
    voila donc si il y a une erreur ou des choses a préciser
    merci de me l'indiquer
    au revoir
    tu as inversé tes quantificateurs : g surjective, donc pour tout x appartenant à E, il existe y appartenant à F tq x=g(y) ( si tu change x, y n'est pas forcement le même..)

    mais le qui te dit que y=f(x) ??

  9. #8
    invite1c6e02b6

    Re : probléme d'ensemble

    Citation Envoyé par thor_asgard
    bonjour
    j'aimerais savoir ce que vous pensez de mon résonnement
    au revoir
    toi, tu raisonne...c'est la cloche qui résonne..

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