Intégrales

[lolouki]

Bonjour,
j'ai un petit problème sur un exercice avec les intégrales :

On prend f une fonction décroissante et positive sur le segment [a,b], f une fonction Riemann intégrable sur ce meme segment.

On considere G(y) = integrale de a à y de g(x)dx. j'ai prouvé dans une question précédente que G atteint son Max , on le note M.

je dois montrer que l'intégrale de f(x)g(x) dx sur [a,b] est inférieur ou égal a Mf(a).

L'énonce me fait remarquer que la fonction h qui à y associe integrale( |g(x)dx) sur [a,y] est unfirmement continue sur [a,b]

donc j'en deduis : soit e>0 il existe alpha>0 tel que :

|x-y|< alpha => | integrale de |g(x)|dx sur [y,x] |< e

mais je ne vois pas comment ca aide !
j'ai traité le cas ou f est en escalier (c'est assez simple) mais je ne comprends pas comment avancer d'avantage !

Si quelqu'un peut m'aider je le remercie !
-----

[Gwyddon]

Hello,

Il est inutile d'exploiter la remarque, et j'ai l'impression qu'elle t'a engagé vers une voie un peu tordue

En fait la question est très facile, il te suffit juste de bien utiliser tes hypothèses :

_ f est positive décroissante, que peux-tu dire de f(x) par rapport à f(a) sur ton intervalle ?

_ Tu sais que G atteint son max, comment l'exploiter en te rappelant la définition du max ?

[lolouki]

alors on a : f(x)<= f(a) pour tout x dans [a,b]
la définition du max me donne :

integrale de g(x)dx sur [a,y] <= integrale de g(x)dx sur [a,c] pour un c dans [a,b]

mais je ne vois pas comment arriver a mon inégalité, si g était positive ce serait simple mais la .. A moins qu'on puisse majorer un produit d'intégrales ?

[Gwyddon]

alors on a : f(x)<= f(a) pour tout x dans [a,b]
la définition du max me donne :

integrale de g(x)dx sur [a,y] <= integrale de g(x)dx sur [a,c] pour un c dans [a,b]

Mais surtout tu peux dire quoi pour par rapport à M, pour tout x dans [a;b] ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[lolouki]

Et bien cet intégrale est inférieure ou égale a M! mais seulement moi je veux majorer l'intégrale de f(x)g(x) donc je ne vois pas comment conclure !

[Gwyddon]

Bah f est positive je te rappelle

Bref tu as toutes les cartes en main, je ne peux pas faire plus sinon te donner la réponse. Écrit les hypothèses et résultats qu'on a dégagé ensemble, écrit à côté le résultat que l'on te demande, et réfléchis

[lolouki]

En fait j'ai une idée ..

l'intégrale de g(x)dx sur [a,b] est inférieure ou égale a M!

donc l'intégrale de f(x)g(x)dx sur [a,b] <= intégrale de f(a)g(x)dx sur [a,b]

et on en deduit la reponse ! mais j'ai le droit d'ecrire ca sachant que je ne connais pas le signe de g ?

[Gwyddon]

Oui tu as le droit, où est le problème ?

Tu as donc la réponse, tu vois bien que c'était tout facile

[lolouki]

Et bien je pensais que comme on ne connaisait pas le signe de g ca posait probleme !! mais merci beaucoup !! juste pour savoir, pourquoi l'enoncé me dit d'utiliser le fait que l'intégrale que j'ai ecrit est uniformément continue ?

[Gwyddon]

Et bien je pensais que comme on ne connaisait pas le signe de g ca posait probleme !! mais merci beaucoup !! juste pour savoir, pourquoi l'enoncé me dit d'utiliser le fait que l'intégrale que j'ai ecrit est uniformément continue ?

Je ne connais pas ton énoncé complet, donc je n'en sais rien

[Garf]

Oui tu as le droit, où est le problème ?

Tu as donc la réponse, tu vois bien que c'était tout facile

Eh non, c'est faux.
Prenons [a,b]=[0,1], f(x)=1-x, g(x)=-1. On est bien dans les hypothèses de l'énoncé.
Intégrale de f(x)g(x)dx sur [a,b] = -1/2.
Intégrale de f(a)g(x)dx sur [a,b] = -1.
(on remarque que, dans ce cas, Mf(a)=0, donc le résultat reste vrai)
Quand on fait ce genre de majoration, il ne faut pas oublier d'introduire des valeurs absolues : on a bien notre intégrale inférieure à M'f(a), où M' est l'intégrale de lgl entre a et b.

Je regarde ça tout à l'heure, là j'ai cours ^^

[Gwyddon]

Et où est le problème ?

chez moi -1/2 < 0...

Encore une fois je persiste et signe : le raisonnement est parfaitement valable.

[Garf]

Le résultat est valable. Pas le raisonnement.

intégrale de f(x)g(x)dx sur [a,b] <= intégrale de f(a)g(x)dx sur [a,b]

Ca, c'est -1/2 <= -1. Chez moi, c'est faux, et ça restera faux pour toute fonction g strictement négative pour peu que f ne soit pas nulle pp.
Donc il y a au moins une étape foireuse dans le raisonnement.

Sinon, le résultat se retrouve par IPP dans le cas de f C1.

[Gwyddon]

Je suis peut être con, mais je ne vois absolument pas où est la faute.

[Garf]

l'intégrale de g(x)dx sur [a,b] est inférieure ou égale a M!

donc l'intégrale de f(x)g(x)dx sur [a,b] <= intégrale de f(a)g(x)dx sur [a,b]

Quel est le lien logique ? Surtout que mon exemple montre que, sous les conditions de l'énoncé, la deuxième proposition est fausse (on est d'accord là-dessus, au moins ?).

Je rappelle quand même à tout hasard que l'intégrale d'un produit de fonction se majore ainsi :

Alors je vois bien que tu n'utilises pas ça, mais dans ce cas qu'est-ce que tu utilises ?

Ou alors je suis complètement crevé et j'ai mal compris l'énoncé, ou bien y'a quelque chose qui cloche...

[Gwyddon]

J'ai utilisé : si on a *sur un segment [a;b], alors on a mais en effet c'est faux vu ton contre-exemple

Bon je dois être fatigué, je revois ça demain

[Garf]

Sachant que le cas est facile si on suppose f C1, j'aurais utilisé par exemple la densité des fonctions C1 dans L1 et dans C0... Cependant, je ne crois pas que ce soit ce qui est demandé ici.