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normes équivalentes



  1. #1
    florian-LR

    normes équivalentes


    ------

    Bonjour,

    Je souhaiterais démontrer que les normes 1 et euclidienne sont équivalentes sur R^n.

    De même sur l'espace des fonctions continues de [a,b] dans R..

    Merci d'avance.

    PS : je ne suis pas très doué en Latex alors je m'excuse de ne pas pouvoir illustrer mes questions par les inégalités et les définitions correspondantes.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    erff

    Re : normes équivalentes

    Bonjour,



    d'après Cauchy Schwartz



    en développant le carré tout simplement

  4. #3
    florian-LR

    Re : normes équivalentes

    exact, merci, mais pour l'autre inégalité c'est plus dur en fait et c'est la ou je bloquais (désolé, je n'étais pas assez précis).

    par contre, pour les normes sur l'e.v.n. des fonctions continues de [a,b] dans R, il faut démontrer que les normes ne sont pas équivalentes, car un sens de l'inégalité est faux.
    Pour le sens vrai on a :


    Pour l'autre sens, on nous demande de voir avec f(x)=x^n avec x appartient à [0,1]. Ce qui me donne :
    pour la norme 1 :
    pour la norme euclidienne :
    de meme pour la norme infinie :
    Mais pourtant il existe bien un alpha de R tel que norme1>norme2>norme3, non? si on choisit correctement.

    voila. merci d'avance.
    Dernière modification par florian-LR ; 29/02/2008 à 18h05.

  5. #4
    erff

    Re : normes équivalentes

    Je reprends tes résultats :

    Soit
    Alors

    Supposons ceci :



    Donc, il ne te reste plus qu'à choisir un n suffisamment grand pour contredire cette inégalité (qui est censée être vraie pour tout n)...

    PS : Si je puis me permettre, je pense que ce logiciel te sera utile pour le LATEX, ca te permet d'écrire avec des symboles mathématiques, juste en cliquant...ensuite il ne te restera plus qu'à faire un copier/coller

    http://www.winedt.com/download.html
    Dernière modification par erff ; 29/02/2008 à 21h36.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    florian-LR

    Re : normes équivalentes

    ok, merci pour la réponse et le lien.

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