Problème de géométrie

[invitef740d4c5]

Bonjour! j'ai un problème de géométrie que je n'arrive pas a résoudre le voici:
Soit ABC un triangle qualitatif. A' est la symetrie de A à B, B' est symetrie de B à C, et C' est symetrie de C à A (ce qui veut dire A'B=BA
C'A=AC)
B'C=CB. Comptez l'aire de A'B'C' par rapport à celle de ABC.
ce que je doit trouver c'est: A(A'B'C')=1/b A(ABC)
aidez-moi s'il vous plais perssonne n'a pu m'aidé dans le forum de Mathématiques du collège et du lycée
voici le dessin
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[invite57a1e779]

Bonjour! j'ai un problème de géométrie que je n'arrive pas a résoudre le voici:
Soit ABC un triangle qualitatif. A' est la symetrie de A à B, B' est symetrie de B à C, et C' est symetrie de C à A (ce qui veut dire A'B=BA
C'A=AC)
B'C=CB. Comptez l'aire de A'B'C' par rapport à celle de ABC.
ce que je doit trouver c'est: A(A'B'C')=1/b A(ABC)
aidez-moi s'il vous plais perssonne n'a pu m'aidé dans le forum de Mathématiques du collège et du lycée

On a , et .

On exprime tout en fonction de et : , et .

Par produit vectoriel : .
Comme la norme de ces produits vectoriels est le double de l'aire des triangles, on a donc aire(A'B'C')=7aire(ABC).

[invitef740d4c5]

Merci bcp c'est ce que j'appele une solution convaincante!

[invite1237a629]

Plop,

Question comme ça : ça se voit au programme du lycée le produit vectoriel ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Plop,

Question comme ça : ça se voit au programme du lycée le produit vectoriel ?

A vrai dire, je n'en sais vraiment rien.
Peut-être l'utilise-t-on en physique ?

[invite1237a629]

Eh bien dans mon souvenir, je n'avais vu ça qu'après le bac...peut-être me trompé-je, mais y aurait-il à tes yeux une autre démonstration à ce machin ? (on a cherché et pas vraiment trouvé )

[invite57a1e779]

Eh bien dans mon souvenir, je n'avais vu ça qu'après le bac...peut-être me trompé-je, mais y aurait-il à tes yeux une autre démonstration à ce machin ? (on a cherché et pas vraiment trouvé )

On peut camoufler le produit vectoriel dans une formule de Lagrange pour ramener un produit scalaire.
L'aire du triangle est donnée (j'espère que c'est connu...) par , donc
.
De même l'aire du triangle satisfait
.
Connaissant et en fonction de et , on doit pouvoir montrer que , mais j'avoue que j'ai la flemme de faire le calcul.

En tout cas, je ne vois aucune raison géométrique qui fasse apparaître le facteur 7 (si je ne me suis pas trompé) entre les aires, en particulier je n'ai pas pu "découper" le triangle A'B'C' en 7 parties ayant toute la même aire que ABC.

[invite35452583]

Le triangle AB'C' a une base AB' de longueur double que la base AB de ABC.
Maintenant, comme C' est le symétrique de C par rapport à A, on a CP=C'P' où P et P' sont les projetés orthogonaux de C et de C' sur une même droite passant par A. en particulier si cette droite est (AB')=(AB) donc haueur(AB'C')=hauteur(ABC) avec le choix de base précédent.
On a donc aire(AB'C')=2aire(ABC)=2aire(A BC')=2aire(BB'C')
On procède de même avec A'BC' et A'B'C.