projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert

invite769a1844 · 23/03/2008, 18h04

Bonjour, je bloque sur cet exercice:

Soit $\text{[math]}$ un cône convexe fermé non vide d'un $\text{[math]}$ -espace de Hilbert $\text{[math]}$ .

Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (qui est bien défini d'après le théorème d'existence et d'unicité de la projection sur un convexe non vide d'un espace de Hilbert).

Montrer que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ .

Bon pour l'instant ce que je sais, c'est que

$\text{[math]}$ .

Merci pour votre aide.

invitea07f6506 · 23/03/2008, 23h32

Soit x' la projection de x sur le cône. Supposons x' non nul (s'il est nul, le résultat est immédiat).
Considérons la projection orthogonale q sur Vect(x').
Si q(x) appartient à la demi-droite ]-x',0] : x est plus proche de 0 que de x'. C'est absurde.
Donc q(x) appartient à la demi-droite [0,x'[.
Alors q(x) et x' coïncident. En effet, x' est plus proche de x que tout autre point de [0,x'[, et partant de là de Vect(x'), ce qui est une définition de la projection orthogonale sur Vect(x').
Le résultat en découle par Pythagore.

invite769a1844 · 29/03/2008, 15h07

Bonjour, je ne vois toujours pas pourquoi sosu ces conditions x est plus proche de 0 que de x' ?

Envoyé par Garf

Si q(x) appartient à la demi-droite ]-x',0] : x est plus proche de 0 que de x'. C'est absurde.

invite769a1844 · 29/03/2008, 15h39

bon en fait cette notion de "projeté orthogonal sur un cône" n'est pas clairement définie pour l'instant.

Cependant on l'a vu pour un sous-espace fermé (à la place de cône fermé convexe),

donc en notant $\text{[math]}$ le cône considéré, il faudrait voir que

$\text{[math]}$ est non vide, et voir si il existe un unique $\text{[math]}$ tel que

$\text{[math]}$ .

On pourrait définir ainsi le projeté orthogonal de $\text{[math]}$ sur ce cône.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite769a1844 · 29/03/2008, 15h44

ok, bon en fait le seul point qui me dérange encore c'est le fait qu'on a forcément $\text{[math]}$ non vide.

invite769a1844 · 29/03/2008, 16h04

Envoyé par Garf

Considérons la projection orthogonale q sur Vect(x').
Si q(x) appartient à la demi-droite ]-x',0] : x est plus proche de 0 que de x'. C'est absurde.

Autant (au temps?) pour moi, tu faisais pas un projeté orthogonal sur le cône mais bien sur un sous-espace fermé

invite769a1844 · 29/03/2008, 16h27

Par contre je vois toujours pas pourquoi x est plus proche de 0 que de x',

tout ce que je vois c'est que q(x) est plus proche de 0 que de x'.

invite769a1844 · 29/03/2008, 16h56

donc si $\text{[math]}$ ,

je dois montrer que $\text{[math]}$ sachant que $\text{[math]}$ .

Je ne vois pas le truc ?

invite769a1844 · 29/03/2008, 17h29

ok j'ai trouvé finalement

Déjà 0 est dans le cône $\text{[math]}$ , car $\text{[math]}$ est fermé par hypothèse.

Si $\text{[math]}$

Ensuite on a

$\text{[math]}$ (par Pythagore)

$\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$ (par Pythagore)

Merci Garf

projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert

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