Matrices : équation caractéristique

[inviteb4d8c3b4]

Salut à tous !

Je bosse le cours sur les matrices et plus particulièrement, la partie sur les valeurs propres.

Pour chercher les valeurs propres d'une matrice carrée nxn, il est dit à un endroit que il faut chercher l'équation caractéristique.

Le polynôme est de la forme: avec I la matrice identité

Il s'agit d'un polynôme d'ordre n et que le terme de plus haut degré s'obtient par le produit des éléments diagonaux du déterminant et vaut :

Il est dit ensuite que le terme de degré n-1 est la somme des facteurs obtenus en prenant le terme dans n-1 éléments diagonaux parmi les n, et le terme dans l'élément diagonal restant, ce qui donne :

Ok, j'ai vérifié les deux, et ça marche mais il n'est dit nulle part comment obtenir le reste de l'équation caractéristique, autrement dit les autres termes de degré encore inférieur et même les termes constant quand il y en a.

Vous sauriez comment les obtenir ? Je ne sais même pas si c'est possible, vous savez ?

Merci d'avance.
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[invitec053041c]

Salut.

C'est possible mais pas vraiment utile en général...

Il y a 1 autre cas particuliers cependant: le terme constant vaut det(A).

[inviteb4d8c3b4]

Bein, je me disais que ça avait l'air rapide pour trouver les valeurs propres, non ? Parceque sinon, on doit créer un système d'équation correspondant à , et résoudre le système qui n'est pas forcément tjs évident ?

D'un autre côté, voilà : mis à part le terme de degré n et n-1, et celui de degré 0 (le terme constant) qui équivaut au déterminant, je vois pas comment calculer les autres degrés ?

Qu'en pensez-vous ?

[invite1237a629]

Salut,

Ben faut calculer à la main

Enfin je pense que c'est plus fastidieux de chercher quels sont les coeff des degrés moindres que de chercher les racines du polynôme...
Sinon, tu peux peut-être t'y amuser par récurrence, mais dans les exercices, ça ne doit pas être très courant de demander cela...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4d8c3b4]

Ok, merci de tes avis