Bonjour,
Si considère, combien y a-t-il de classe d'équivlence modulo
Pour
Merci.
Question intéressante, je n'avais jamais regardé les classes dans Z[i].
Il n'y en a pas toujours N(x).
Pour me simplifier la vie on va renommer noter "x" "z".
On a z=d(x+iy) avec d, x et y entiers x et y premiers entre eux. (N(z)=N(x+iy)/d)
On a (v+iu)z=d[(vx-uy)+i(ux+vy)]
Pour deux éléments z' et z" congrus modulo z dans z[i], on a donc Im(z') congru à Im(z") modulo d dans Z.
Réciproquement, l'ensemble des ux+vy est égal à Z puisque x et y sont premiers entre eux. Il existe donc u' et v' (identité de Bezout) tel que (v'+iu')z=X+i X entier relatif. Il existe donc au moins un représentant dont la partie imaginaire est dans [0,...,y-1] et vu ce qui précède cet entier est unique.
Pour deux éléments z et z' dans une même classe modulo z dans Z[i] et ayant même partie imaginaire on a z-z' est dans z.Z[i] et dans Z donc dans l'intersection des deux qui est un idéal de Z.
Soit m un entier dans z.Z[i], on a (v+iu)z=d[(vx-uy)+i(ux+vy)]=m pour deux entiers relatifs u et v. En particulier ux+vy=0 avec x et y premiers entre eux donc u et v sont de la forme u=-ky v=kx pour un entier relatif k.
D'où d((kx)x-(-ky)y)=kd(x²+y²)=kN(z)/d. m est dans N(z)/d .Z. N(z)/d=z.[(conjugué de z)/d] est dans z.Z[i] inter Z donc z.Z[i] inter Z=N(z)/d.
z' et z sont congrus modulo z dans Z[i] équivaut donc à z'-z congru à 0 modulo N(z)/d dans Z.
On en déduit alors aisément une bijection entre les classes de d(x+iy) dans Z[i] et [0,...,N(z)/d -1]x[0,...,d-1].
Ok merci.
Sinon :
on aIl n'y en a pas toujours N(x).
