Enigme mathématique : le chien et la puce

[BioBen]

Salut à tous,
alors voila mon prof de math m'a posé la question suivante :
On consièdre un chien attaché à un maison par une laisse.
La distance maison-chien= longueur de la laisse quand le chien est au repos = = L, et la position du chien = xc
Une puce se trouve sur la laise en x=0 (au niveau de la maison quoi).
Le chien va à une vitesse Vc, la puce a une Vitesse Vp (position de la puce = xp)
Questoin : La puce va-t-elle rattapper le chien ?
En sachant que : la laisse est extensible à l'infini, elle est homogène (quand le chien avance de x, chaque moité s'allonge de x/2).
La puce et le chien sont immortels, le chien est champion du monde toute catégore de vitesse et d'endurance
La laisse est parfaitement attachée à la maison.
L'origine est sur le mur et t est le temps.

Je rapelle juste les variables :
Vc, xc,
Vp, xp,
Vl
t

L est une constante


Voilà ma réponse:

Alors pour le chien on a : xc = L + Vc*t

Pour la puce c'est plus compliqué car elle voyage sur la laisse, or la vitesse de chaque point de la laise varie entre 0 (sur le mur) et Vc (sur le chien) suivan la relation: Vl = (Vc*xp) / xc
Donc la vitesse totale de la puce est Vp +Vl = Vp + (Vc*xp) / xc
Donc xp = (Vp + Vc*xp / xc)*t

On cherche l'instant t ou on a: xp = xc

Donc: L +Vc*t = Vp*t + Vc*t
et donc: t = L/Vp

Ce qui est étonnant c'est que cet instant ne dépend pas de la vitesse du chien!!
Ma réponse st-elle correcte ?

Merci d'avance
a+
ben
-----

[invite6c250b59]

(..)et donc: t = L/Vp

Ce qui est étonnant c'est que cet instant ne dépend pas de la vitesse du chien!!
Ma réponse st-elle correcte ?

Si oui moi je suis pâtre grec officiant à Wabush (Labrador). Je crois que ton erreur est dans la vitesse de la puce, qui n'est pas constante comme le suggère tes équations, mais variable en fonction de sa position sur la laisse, d'où Vp(t)=Xp(t)/Xc(t)*Vc+Vp(t=0). C'est pas ça qui te donne la réponse toute faite mais... j'ai pas encore trouvé comment faire

[invitea3eb043e]

Pas un peu gonflé d'intégrer la position de la puce comme si xc était constant ? xc= L + Vp * t, ça fait une équa diff à intégrer.
Le résultat t = L/Vp serait correct si le chien ne bougeait pas, ce qui n'est pas le cas.

[invite4793db90]

Salut,

je crois que ce que suppose BioBen, c'est que la puce avance comme si la laisse en s'étirant était un tapis roulant, c'est-à-dire que la puce en restant immobile avance à la vitesse du chien...

Maintenant, les sacs à puces et moi...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5e34a2b4]

Donc la vitesse totale de la puce est Vp +Vl = Vp + (Vc*xp) / xc
Donc xp = (Vp + Vc*xp / xc)*t
ben

Si j'ai bien compris tu appelles x_p la position de la puce.

et comme la vitesse totale de la puce est : V_p + (V_c*x_p) / x_c

tu peux écrire : Vitesse totale de la puce = dx_p/dt = V_p + (V_c*x_p) / x_c

et donc tu aboutis à une équation différentiel.
Tu ne peux pas intégrer directement comme tu l'as fait, parce que x_p que j'ai mis en gras dans la formule précédente n'est pas constante.
Il faut donc résoudre l'équa. diff pour continuer.

[invitedebe236f]

si la puce est a N % de la laisse et s il est bouge pas (elle se repose)
quelque soit la vitesse du chien est reste a N%
donc si elle avance elle se raproche du chien
ce qui voudrait dire que quelque soit le vitesse du chien et de la puce elle arrive au bout ???

le hic c est mesurer une vitesse sur un tapis roulant qui accele des qu on avance dessus

[invite5e34a2b4]

tu peux écrire : Vitesse totale de la puce = dx_p/dt = V_p + (V_c*x_p) / x_c

Je rajoute qu'il ne faut pas oublier non plus comme Jeanpaul l'a dit que x_c est fonction du temps. Donc, il faut remplacer x_c par son expression en fonction du temps (que tu as trouvée).

[invite14ea0d5b]

si la puce est a N % de la laisse et s il est bouge pas (elle se repose)
quelque soit la vitesse du chien est reste a N%
donc si elle avance elle se raproche du chien
ce qui voudrait dire que quelque soit le vitesse du chien et de la puce elle arrive au bout ???

le hic c est mesurer une vitesse sur un tapis roulant qui accele des qu on avance dessus

mais la laisse augmente linéairement de longueur, tandis que le pourcentage de progression sur la laisse....



cela dit, on peut se mettre dans un référentiel qui s'éloigne de la scène tel que la longueur de la laisse reste constante à vue... (vous voyez c'que j'entends?) il faut alors trouver la vitesse de la puce en fonction du référentiel et on integre...

je propose donc :

toutes les grandeurs linéaires sont divisées par xc(t) en tout instant sauf... la position de la puce puisque la laisse se dilate. Donc la vitesse de la puce dans ce référentiel :

vp° = vp/xc(t) = vp/(L+vc*t)

la distance qu'elle a à parcourir est xc/xc = 1. La distance qu'elle parcourt en un temps t* :

xp = integr(0->t*) de vp°dt

primitive de vp° = vp/vc * ln(L+vc*t)

=> xp(t) = vp/vc * [ln(L+vc*t)-ln(L)] = vp/vc * ln(1+vc/L * t)

xp = 1 => 1+vc/L*t = exp(vc/vp)

=> t = L/vc * (exp(vc/vp) - 1)
t est toujours physiquement possible (qq soit vc, vp et L) donc la puce rattrape toujours le chien.

Bon je suis pas sur de ma solution mais au moins elle est plausible : vc = 0 => t = vp / L (ça marche)
t augmente si vc augmente et diminue si vp augmente.

[BioBen]

OK, je comprends parfaitement le raisonnement, mais je comprends aps ta phrase de fin :
"Bon je suis pas sur de ma solution mais au moins elle est plausible : vc = 0 => t = vp / L (ça marche)
t augmente si vc augmente et diminue si vp augmente."

Pourquoi est ce que quand vc=0, t=vp/L ? exp(0)=1 donc pour vc=0, t=0 (ce qui est plus logique )

[invite14ea0d5b]

t = L/vc * (exp(vc/vp) - 1)

vc = 0 :

t = L/0 * 0 = L * 0/0

c'est pas très défini. Cela dit tu peux voir que les fonctions x et (e^(x)-1) s'approchent de 0 de la même manière : avec une pente de 1. alors tu peux en déduire que si f(x) = (e^(x) -1) /x alors f(0) = 1. Tu fais le quotient des fonctions très près de 0 donc tu as que des petites variations pour e^(x)-1 et x qui sont égales... d'ou le résultat 1.

Dans notre cas on prend la racine vp-ième de e^(x) alors tu peux concevoir que e^(x/vp)-1 s'approche de 0 avec une pente égale à vp.

=> t(vc = 0) = L/vp

Si tu as déja vu la règle de l'Hospital, tu peux aussi l'appliquer et tu arrives au même résultat. (ci dessus c'était une reflexion intuitive qui fait le même boulot [enfin c'est plus facile quand on connaît le résultat ])

Sinon je vais juste te dire pourquoi c'est tout à fait juste que si vc = 0 => le temps de "rattrappage" t de la puce est L/vp : la puce doit parcourir toute la laisse à une vitesse vp avant de rencontrer le chien. t*vp = L, t = L/vp. Voila :P

[BioBen]

OKay, j'ai compris, je ne connaissais aps cette technique (mon message #9 apporte en rélaité une solution talement stupide quand Vc=0, désolé de la bêtise).
Le changement de référentiel (on se met dasn un referentiel ou la longueur du fil est constante) était je pense une très bonne technique pour résoudre cette éngime (si c'est la bonne réponse mais je pense vraiment que c'est bon ), ca permet de la faire en quelques lignes.
Merci beaucoup.
a+
ben

[invite6c250b59]

Considérons que c'est une puce. Elle avance donc par saut. Comme elle se raproche de plus en plus du chien, elle est de plus en plus motivée et elle fait des sauts de plus en plus long, de telle manière qu'elle franchit toujours un pourcentage identique de la laisse à chaque bond. En d'autres mots, elle franchit toujours chaque portion de la laisse telle qu'il y ait n portions à franchir quelle que soit la vitesse du chien et de la puce (le temps du saut augmente par contre).

Pour franchir la première portion, elle met t1=L/(n*Vp). Pour les suivantes, il faut prendre en compte le taux d'expansion de la laisse qui vaut (L+Vc/t1)/L au premier coup, puis (L+Vc/(t1+t2+...t[n-1])/L pour le cas général

on se retrouve donc avec une suite:
t1=L/(N*Vp)
t2=(L+Vc/t1)/L*t1
t3=(L+Vc/(t1+t2)/L*t1
....
tn=(L+Vc/(t1+t2+..t[n-1]))/L*t1

La somme des termes quand n tend vers l'infini donne alors la réponse. Le calcul d'une somme de termes pour une suite est quelquechose de très classique. Tellement que j'ai oublié la formule

martini_bird, est-ce que ça te semble correct?

[invite4793db90]

martini_bird, est-ce que ça te semble correct?

Salut,

j'ai pas tout compris, mais tes équations ne sont pas homogènes...

[invite6c250b59]

tes équations ne sont pas homogènes...

Heu.. ça veut dire quoi une équation pas homogène? est-ce que c'est parceque j'ai mis t1=L/(N*Vp) au lieu de t1=L/(n*Vp)?

[invite14ea0d5b]

D'après tes hypothèses la vitesse de la puce est variable ?_? "si elle veut elle peut aller plus vite" alors elle peut aussi faire tout la laisse en un saut si elle veut o_O ^^' sinon c'est quoi la "première portion" de la laisse ? Le premier saut qu'elle fait ? tu ne tiens pas compte de l'expansion de la laisse pour le premier saut ?

[invite4793db90]

Salut,

comme on a des grandeurs qui peuvent s'interpréter physiquement, il faut que le résultat soit cohérent au niveau des unités.
Or en évrivant

t2=(L+Vc/t1)/L*t1

dans la première parenthèse, tu additionnes une longueur (L) à Vc/t1 qui s'exprime en m.s^-2: on ne peut pas additionner deux termes qui ne représentent pas les mêmes grandeurs.

C'est une méthode assez pratique pour vérifier un calcul.

[invite6c250b59]

D'après tes hypothèses la vitesse de la puce est variable ?_? "si elle veut elle peut aller plus vite" alors elle peut aussi faire tout la laisse en un saut si elle veut o_O ^^' sinon c'est quoi la "première portion" de la laisse ? Le premier saut qu'elle fait ? tu ne tiens pas compte de l'expansion de la laisse pour le premier saut ?

Non la vitesse de la puce est constante, simplement je considère que chaque saut est de plus en plus long, histoire de simplifier en disant que chaque saut couvre le même pourcentage de la laisse. Ca me permet de considérer n sauts (portion de laisse), et le travail est ensuite de trouver combien de temps prends chaque saut (t1, puis t2, ...jusqu'à tn). Le temps total pour arriver au chien étant la somme de tous ces t.

Je ne considère pas l'expansion de la laisse pour le premier saut, ni en fait l'expansion qui arrive durant un saut. L'idée est que cette aproximation comporte une erreur qui dépend du nombre de saut: si n=1, c'est une grosse erreur. Si n=2, c'est un peu moins gros. Si n=infini, l'erreur devient infinitéssimale, et on la néglige vaillament. Comme j'ai mis t comme une suite récurrente, je pense qu'il existe une formule qui donne la somme des termes de la suite quand n tend vers l'infini. Mais apparement il y a un problème d'homogénité, quoi que cela veuille dire..

PS croisement avec martini_bird:
tu devrais vérifier ton calcul très cher

[invite14ea0d5b]

Gamma : martini_bird à raison, c'est à toi de revérifier

et la vitesse de la puce n'est pas constante : si la puce ne bouge pas(si elle saute/marche/court pas) elle avance quand même. La laisse se dilate ça lui donne une vitesse supplémentaire.

vp est bien constante mais c'est la vitesse de la puce qui avance sur qqch au repos.

Sinon, qu'est-ce qui ne marche pas dans ma solution ?

[invite6c250b59]

PS croisement avec martini_bird:
tu devrais vérifier ton calcul très cher

heum... on va dire qu'un pirate s'est emparé de mon ordinateur et a écris une connerie à ma place. Mais je crains qu'en réalité il s'agit d'un worm dans mon encéphale. Alors voilà: mes plus plates exuses à martini_bird

et après correction pour mon erreur (merci mb!) ça donnerait:

Pour franchir la première portion, elle met t1=L/(n*Vp). Pour les suivantes, il faut prendre en compte le taux d'expansion de la laisse qui vaut (L+Vc*t1)/L au premier coup, puis (L+Vc*(t1+t2+...t[n-1])/L pour le cas général

on se retrouve donc avec une suite:
t1=L/(N*Vp)
t2=(L+Vc*t1)/L*t1
t3=(L+Vc*(t1+t2)/L*t1
....
tn=(L+Vc*(t1+t2+..t[n-1]))/L*t1

La somme des termes quand n tend vers l'infini donne alors la réponse.

[invite6c250b59]

Note: dans la bulle précédente, les * sont des * remplaçant des / pour corriger la première version

Gamma : martini_bird à raison, c'est à toi de revérifier

J'ai vu. Aïe! Pas sur la tête SVP

et la vitesse de la puce n'est pas constante : si la puce ne bouge pas(si elle saute/marche/court pas) elle avance quand même.

Pas dans le référentiel que j'utilise, puisque on parle d'intervale entre des points où la longueur est notée en proportion de la laisse, donc entre des points fixes à se point de vue. Plutôt que ce soient les points qui avancent au rythme du chien, c'est le temps à franchir deux points qui augmente. Un changement de perspective qui me paraissait élégant mais à l'évidence mon truc est pas aussi clair que ce que je pensais...

Sinon, qu'est-ce qui ne marche pas dans ma solution ?

Deux choses très importantes: 1-je suis pas capable de vérifier si c'est juste, parceque je suis trop nul en dérivée pour comprendre ta solution ; et 2-J'arrivais pas à me sortir le problème de la tête, alors il fallait bien que je vérifie si j'avais trouvé la solution ou non.

[invite4793db90]

heum... on va dire qu'un pirate s'est emparé de mon ordinateur et a écris une connerie à ma place. Mais je crains qu'en réalité il s'agit d'un worm dans mon encéphale. Alors voilà: mes plus plates exuses à martini_bird

Je t'en prie, il m'arrive aussi d'être emparé par des pirates!

Concernant le problème, étant donné que j'ai un peu de mal à me le représenter, je ne pense pas être d'un grand secours! Je prendrai un peu de temps pour calculer la limite de ta suite, mais pour savoir si le raisonnement est bon, vaut mieux s'adresser à quelqu'un qui a un peu plus la fibre physique, parce que là je nage un peu...

Cordialement.

[invitedebe236f]

j ai essayer de me representer avancement par saut ou marche
mais ca me pose un probleme la laisse gradit pendant qu on deplace
une patte dans l air
et si on essayais en ce disant que c est une roue qui tourne ?

[invite14ea0d5b]

Pas dans le référentiel que j'utilise, puisque on parle d'intervale entre des points où la longueur est notée en proportion de la laisse, donc entre des points fixes à se point de vue. Plutôt que ce soient les points qui avancent au rythme du chien, c'est le temps à franchir deux points qui augmente. Un changement de perspective qui me paraissait élégant mais à l'évidence mon truc est pas aussi clair que ce que je pensais...

Ah je crois que je comprend ça serait intéressant que tu finisses ta solution pour vérifier si c'est cohérent avec le problème. Si ça marche le changement de perspective est une bonne idée.

A propos de tes équations pour t1,2,3,... c'est toujours pas ça
mais
t1=L/(N*Vp)
t2=(L+Vc*t1)/(N*Vp)
t3=(L+Vc*(t1+t2)/(N*Vp)
....
tn=(L+Vc*(t1+t2+..t[n-1]))/(N*Vp)


en tout cas je crois. Mais c'est toujours pas ta correction : les unités ne sont toujours pas correctes.

a+

[invite14ea0d5b]

Si j'ai les bonnes équations pour le temps, alors

tn = L/(N*Vp)*(Vc/(N*Vp)+1)^(n-1)

ça vient facilement parceque :
- tn+1 = tn *[ Vc/(N*Vp) + 1 ]
- t1 = L/(N*Vp)

d'où le temps de parcours tN = L/(N*Vp)*suiteGeom[1 à N-1] [(Vc/(N*Vp)+1)] = L/Vc * [(Vc/(N*Vp)+1)^N - 1]

N->oo tN = L/Vc * (e^(Vc/Vp)-1)

hourra ?_? !_!

e se cache dans la limite de (Vc/(N*Vp)+1)^N = lim (1+1/M)^(M*Vc/vp) = e^(Vc/Vp) où M = Vp/Vc * N

avec les deux méthodes on retombe là dessus ça doit être pas trop faux

[BioBen]

vp° = vp/(L+vc*t)

Comment se fait-il que cette formule ne soit pas homogène ? ( [m]/[s] = ([m]/[s])/[m])
a+
ben

[invite14ea0d5b]

C'est normal : la puce ne doit plus parcourir des mètres mais un nombre sans unité (L+Vc*t) /(L+Vc*t) = 1 [pas d'unités]. La "vitesse" est alors exprimée en 1/s.

si tu veux j'ai les vraies expression (= pour un observateur immobile) de Vp(t) et Xp(t) :

Xp(t) = Vp(0)/Vc * ln[Xc(t)/L] * Xc(t)
Vp(t) = Vp(0) * (ln[Xc(t)/L] + 1)

où Vp(0) est la variable Vp de la donnée et Xc(t) = L + Vc*t. L'expression de Xp(t) a été obtenue en multipliant le xp obtenu dans mon dév. d'avant par Xc(t) [on repasse dans le "bon" référentiel]. Et Vp(t) = d/dt (Xc(t)) simplement.

La fonction Xp(t) est la solution de l'équa. diff.
Vp(t) = d/dt[Xp(t)] = Vp(0) + Xp(t)/Xc(t)*Vc

[invite6c250b59]

avec les deux méthodes on retombe là dessus ça doit être pas trop faux

Tes équations sont identiques aux miennes en remplaçant t1 par son expression. Je suis content de voir que l'idée était correcte à la base, mais j'y serais encore sans ton coup de main. Alors merci pour la résolution!

Une dernière question HS: est-ce que l'homogénité est un terme consacré pour la concordance des unités?

[invite14ea0d5b]

Tes équations sont identiques aux miennes en remplaçant t1 par son expression.

oups ! Bien sûr.... je lisais mal : je croyais que L+vc*t était divisé par (L*v1) -_-' désolé.

[BioBen]

Une dernière question HS: est-ce que l'homogénité est un terme consacré pour la concordance des unités?

Je vais tenter de répondre (à mon niveau) : l'homogénéité normalement ne concerne pas les unités (m, km, s, h), mais seulement leur "genre" : T (temps : s, h, années,...), L (longueur : m, km, mm,...), M (masse : kg, g,...),...
La notation usuelle c'est genre [v] = L * T-1, donc la j'ai mal fait de l'utiliser pour des unités ( [m]/[s] par exemple), disons que c'était une manière informelle pour poser clairement ma question

a+
ben

[invite6c250b59]

l'homogénéité normalement ne concerne pas les unités (m, km, s, h), mais seulement leur "genre" : T (temps : s, h, années,...), L (longueur : m, km, mm,...), M (masse : kg, g,...),...

ok, c'est ce que je voulais dire par "concordance des unités". "Concordance des dimensions (genre) des unités" aurait peut-être été un meilleur terme. Merci et a+