Salut tout le monde
Voilà je veux montrer que sin(a*2^n)=0 entraine a=0
(avec n un entier quelconque supérieur à un entier fixé N).
La réponse est évidente, mais je n'arrive pas à le démontrer...
Quelqu'un connait-il un moyen d'y arriver rigoureusement ?
Nico
PS: Eric, si tu nous regarde
Hein ?
Si je trace la courbe sur ma calculette (y = sin(x*2^n)), je vois qu'elle s'annulle tous les pi...
d'ailleurs, a € S, avec S = U (k € Z) { (k*pi)/(2^n) }
non ?
sin(a*2^n) = 0
ssi il existe k € Z tel que a*2^n = k*pi
J'ai oublié de dire que a€[0,Pi/2]
Je suis d'accord avec toi : a*2^n est un multiple de Pi
Mais c'est valable pour tout n>=N donc la seule solution c'est a=0, mais je sais pas comment le montrer!
Quand tu dis:
je suis pas d'accordSi je trace la courbe sur ma calculette (y = sin(x*2^n)), je vois qu'elle s'annulle tous les pi...
n est quelconque... donc si je prends n=2 ça me donne une courbe qui s'annule tous les Pi/4, si je prends prends n=3 tous les Pi/8, etc...
En fait on a pour tout n l'existence d'un k€Z tel que a=k*Pi/2^n
Donc en parlant pas très mathématiquementsi on prend n=+oo ça donne a=0 (qui est donc une condition nécessaire).
Mais comment dire ça de façon rigoureuse ??
Ha je me me demandais si c'était toi!
Bah ne fait je ne vois pas trop le problème... sin(a*2^n)=0 <=> 2^n*a=0 [pi] <=> a=0 car a€[0,Pi/2].
Enfin c'est vrai que ca me parait simple, et en même temps il est 2h30
Eric
Désolé, j'ai dit n'importe quoi... Je vais essayer de me rattrapper, mais c'est pas gagné vu mon étatDonc, on suppose que (Vn) tend vers 0. 0 est donc un point fixe de (Vn), donc V(0)=0, donc sin(2^0*a)=0, et donc a=0. La réciproque est évidente. Voila!
tu risques pas de démontrer : sin(a*2^n)=0 => a=0 car c'est faux :
contre-exemple :
a=pi/4 ; n>2 (N=2)
pour tous les n on a :
a*2^3=(pi/4)*8=2pi ; sin(2pi)=0
a*2^4=(pi/4)*16=4pi ; sin(4pi)=0
etc...
les sin sont tous nuls quels que soit n et pourtant a n'est pas nul !
Bon eric:
(Vn) est nulle à partir d'un certain rang N, donc pour n<N on ne sait rien du tout. Je comprends pas comment tu sors V(0)=0 !donc V(0)=0
clide:
T'as raison, je me suis carrément gouré
Mon histoire de "je prends n=+oo donc a=0" c'est faux parce que k aussi est très grand.
Je reprends le problème à la base alors:
On a Vn=4*sin²(a*2^n) avec a€[0,pi/2]
On a montré précédemment que si (Vn) tend vers 0 alors (Vn) est nulle à partir d'un certain rang N.
On veut une condition nécessaire et suffisante portant sur a pour que (Vn) tende vers 0.
Pour la condition nécessaire ça donne :
(Vn) tend vers 0 donc (Vn) est nulle à partir d'un certain rang N.
pour n>=N on a Vn=0
donc sin(a*2^n)=0
donc....
et là si je dis que a€[0,Pi/2] comme CN ça m'avance pas bcp lol
Je pensais avant que ça entrainait a=0 (avec une réciproque alors évidente). Donc maintenant je suis bloqué
yakékinkipourémédé??
Mais si V(0)=0 car 0 est une point fixe! (Une suite qui converge converge vers un point fixe, qui est 0 ici)
Bon je reprends encore à la base pour ceux qui voudraient suivre...
En fait (Vn) est définie par Vn+1=4Vn-Vn² avec 0<=Vo<=4
On suppose que Vn tend vers 0 (ne pas oublier ça dans la suite)
On pose ensuite a=arcsin(sqrt(Vo/4)) (donc Vo=4sin²a) et on a montré que pour tout n, Vn=4sin²(a*2^n). On a également montré que (Vn) est nulle à partir d'un certain rang
La question est : Déterminer une CNS sur a pour que (Vn) tende vers 0.
Pour la CN: On suppose que (Vn) tend vers 0, donc il existe N tel que (Vn) est nulle pour n>=N (ça on l'a démontré hein).
On arrive à sin(a*2^n)=0 avec n=>N
voilà... je vois pas comment faire après
Eric:
Toi tu me dis que Vo=0, je comprends vraiment pas!!
Vo il est quelconque fixé, tu peux pas dire qu'il est égal à 0
Ca y est, je crois que je suis plus embrouillé qu'au départ!
tu as montré qu'une CNS pour que Vn converge est que Vn=0 à partir d'un certain N. cad :
sin(a*2^N)=0 ; autrement dit : a*2^N=0 modulo pi , soit : a*2^N=k*pi avec k=0 ou 1 ou 2 ,... (c'est ce que veut dire 0 [pi])
ce qui s'écrit pour a : a=k*pi/2^N
la CNS est que a soit un multiple qcq même nul de pi N fois divisé par 2.
à partir de là V(N+1) multiple de V(N) est nul et tous ses suivants.
