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calcul d'intégrale avec résidu



  1. #1
    jameso

    calcul d'intégrale avec résidu


    ------

    bonsoir,

    je débute en analyse complexe et je veux essayer de calculer cette intégrale par la méthode des résidus:

    int ( ln(x)/[(x+1)(x+2)] , x,0,+oo)

    (c'est le ln divisé par tout ce qui a après...)

    on a vu en cours des formules valables pour des polynomes sur des polynomes (genre 1/(x^4+1) sur R :impressionnant!! ) voir avec un cosinus ou un sinus mais là je ne sais pas trop si je suis en mesure de le faire avec mes connaisssances actuelles

    merci d'avance pour vos idées
    jameso

    -----

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  3. #2
    jameso

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    j'ai essayé de calculer les résidus de ma fonction en -1 et en -2

    je trouve i*pi pour -1
    et -ln2 -i*pi pour -2

    j'en déduis par le theoreme des residus que mon intégrale sur un contour bien choisi vaut -2i*pi*ln(2)

    en fait je ne sais pas trop quel contour choisir :le demi plan supérieur complexe ou le quart de plan supérieur complexe car mon intégrale va de 0 à +oo
    de plus mes singularités vivent sur le bord du contour et je ne sais pas si je peux toujours appliquer le théorème des résidus


    bref je ne suis vraiment au clair et je n'y arrive pas
    pouvez vous m'aider
    amicalement
    jameso

  4. #3
    martini_bird

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Salut,

    effectivement, il y a des pièges!
    Juste une question avant de chercher: tu l'as trouvée où cette intégrale?

  5. #4
    jameso

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    sur le net un sujet d'examen de licence normalement:
    http://perso.wanadoo.fr/f.mangeard/m...fferentiel.htm

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Quinto

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    En fait un résidu est le premier coefficient d'indice négatif dans le développement de Laurent.
    Ta fonction n'as pas de singularité isolée, tu as une demi droite complete, tu ne peux donc pas appliquer le théorème de Laurent, ou du moins pas la version que j'en connais...

  8. #6
    martini_bird

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Salut,

    avant tout, il faut choisir une détermination du logarithme adaptée: je noterai ln le logarithme néperien classique et log le logarithme défini sauf sur [0, +oo] tel que log(-1)=i Pi.

    Ensuite on considère avec Gamma le contour en pièce jointe. On a bien sûr 0<r<1 et 2<R et on fait tendre R vers l'infini, r vers 0. Ainsi les intégrales sur le grand et sur le petit arc de cercle sont nulles.

    Il ne reste plus qu'à exprimer le reste et de démontrer que ça vaut: où I est l'intégrale que l'on cherche à calculer.

    Or avec le théorème des résidus, on peut évaluer cette intégrale qui vaut

    d'où:



    Voilà, n'hésite pas s'il reste de l'ombre...

    A+
    Images attachées Images attachées  
    Dernière modification par martini_bird ; 15/12/2004 à 12h39.

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  10. #7
    Quinto

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Une idée qui me vient, mais qui ne me semble pas triviale (et qui me marchera pas forcément ici en plus):
    on fait une intégration par partie, ou un changement de variable, et on se ramene a une autre intégrale calculable avec les résidus, ou a on viré le ln... (et l'autre partie est calculable sans, si jamais on fait une IPP)

  11. #8
    Quinto

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Salut, c'est une belle démo, mais comment ca se passe lorsque le r tend vers 0?

    Lorsque la singularité est isolée et simple, je le sais, mais pas lorsque l'on s'approche d'une demi droite...

  12. #9
    martini_bird

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    J'ai eu quelques soucis avec mimetex et j'ai écrit des bêtise: je donne les calculs intermédiaires justes :



    et par les résidus:

  13. #10
    martini_bird

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Citation Envoyé par Quinto
    Salut, c'est une belle démo, mais comment ca se passe lorsque le r tend vers 0?

    Lorsque la singularité est isolée et simple, je le sais, mais pas lorsque l'on s'approche d'une demi droite...
    Il faut estimer l'intégrande à la main en posant z=r exp(i theta) et faire le changement de variable.

  14. #11
    martini_bird

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Citation Envoyé par Quinto
    Une idée qui me vient, mais qui ne me semble pas triviale (et qui me marchera pas forcément ici en plus):
    on fait une intégration par partie, ou un changement de variable, et on se ramene a une autre intégrale calculable avec les résidus, ou a on viré le ln... (et l'autre partie est calculable sans, si jamais on fait une IPP)
    J'avais essayé: par partie, tu te retrouves avec des intégrales divergentes et avec un changement de variables, tu n'es pas plus avancé.

  15. #12
    jameso

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    merci beaucoup martini bird et Quinto pour votre aide précieuse
    nul doute que je vais regardé ça de près mais je dois lacher le pc dans l'immédiat
    A plus tard et encore merci à tous les deux
    jameso

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  17. #13
    Quinto

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Bein j'y suis pour rien
    Merci martini bird. C'est vrai que je pense jamais a faire ceci a la main... Mais je ne crois pas y avoir déjà été confronté...

    Jameso, tu dis commencer en analyse compexe, ca veut dire que vous commencer directement par des résidus? Ca me semble prendre le train en marche un peu...

  18. #14
    martini_bird

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Citation Envoyé par Quinto
    C'est vrai que je pense jamais a faire ceci a la main...
    C'est pas ce que je préfère non plus!

  19. #15
    jameso

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    salut quinto,
    en fait ,on a fait du calcul differentiel pendant presque tout le trimestre (th des fonctions implicites, inversion locale, probleme d'extrema, plan tangent...)
    et puis les deux ,trois dernieres semaines on a attaqué l'analyse complexe en douceur
    avec en bouquet final ce genre d'intégrales...(plus simples quand même que celle-ci j'avoue)

    c'est un sujet qui m'intéresse bien tout comme la topo alors que les groupes et l'analyse numerique matricielle (LU,cholesky,QR,jacobi ,gauss-seidel..) ne m'ont pas vraiment plus ce trimestre-ci

    voila
    je vais me "plonger" dans la démo de martini bird

    amicalement
    james
    Dernière modification par jameso ; 15/12/2004 à 14h30.

  20. #16
    jameso

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    le calcul s'est plutot bien passé mais deux ou trois points sont encore obscurs:
    je m'explique:

    en cours on a fait la géométrie du log et on a enlevé une demi droite tout comme dans le cas présent: je ne vois pas pourquoi on enlève cette demi-droite ?? est ce un problème au niveau de arg(z) qui est défini modulo 2pi?

    enfin à la fin du calcul on calcule par les résidus l'intégrale de log²/...
    et à la fin le "log" s'est transformé en ln népérien de 2...
    est-ce juste un détail d'écriture à ce niveau là?

    sinon j'ai compris le reste du calcul ;merci encore de ton aide:c'est une jolie preuve

    amicalement
    james

  21. #17
    martini_bird

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Salut,

    Citation Envoyé par jameso
    en cours on a fait la géométrie du log et on a enlevé une demi droite tout comme dans le cas présent: je ne vois pas pourquoi on enlève cette demi-droite ?? est ce un problème au niveau de arg(z) qui est défini modulo 2pi?
    Exactement! En fait tu as déjà dû calculer où C est un cercle de centre l'origine: le résultat n'est pas nul (2i Pi). Ce qu'il faut comprendre c'est qu'en "tournant" autour de l'origine tu "montes" de 2i Pi, d'où l'impossibilité de définir le logarithme sur C* car alors il serait discontinu1.

    Citation Envoyé par jameso
    enfin à la fin du calcul on calcule par les résidus l'intégrale de log²/...
    et à la fin le "log" s'est transformé en ln népérien de 2...
    est-ce juste un détail d'écriture à ce niveau là?
    Non, il y a quelque chose que tu as loupé... (mais bon, c'est un peu normal, si tu as abordé le sujet en 3 semaines)
    En fait la limite quand r tend vers 0 de log²(z+ir)-log²(z+ir) est ln(z)²-(ln(z)+2i Pi)², justement à cause de ce que je te disais au-dessus...

    Dis-moi si j'ai été suffisament clair, je reste à ta disposition.

    Citation Envoyé par jameso
    merci encore de ton aide:c'est une jolie preuve
    J'ai repris mon cours d'analyse complexe, je ne calcule pas ce genre d'intégrale tous les jours.

    Amicalement.

    1 Plus précisément si je paramètre le cercle unité avec z=exp(it) et -Pi<t<Pi, les limites limt->-Piln z=-i Pi et limt->Piln z=i Pi diffèrent de 2i Pi. D'ailleurs, quelques soient la demi-droite et le cercle considéré, les deux limites différent de 2i Pi: celà vient du calcul de l'intégrale de dz/z sur ce cercle.

  22. #18
    jameso

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    re martini bird
    je comprends les calculs que tu fais mais le souçi c'est que je ne vois pas le lien entre l'intégrale de 1/z sur C qui vaut 2i*pi et la discontinuité du logarithme :

    je n'ai pas trop saisi l'histoire de "en tournant autour de l'origine tu montes de 2i*pi
    d'où ....c'est le "d'où".... que je ne comprends pas bien !!

    je ne sais pas si je suis très clair car ça ne l'est pas dans ma tète (du moins pour l'instant je l'espère)

    james

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  24. #19
    martini_bird

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Salut,
    Citation Envoyé par jameso
    je n'ai pas trop saisi l'histoire de "en tournant autour de l'origine tu montes de 2i*pi
    d'où ....c'est le "d'où".... que je ne comprends pas bien !!
    C'est vrai que je n'ai pas été très clair, et si tu ne l'as pas vu, c'est pas très évident.

    Reprenons notre log (défini sauf sur R+ et tel que log(-1)=i Pi): on va s'intéresser à son argument. En fait on peut écrire:
    log(z)=ln|z| + Arg(z)
    où Arg(z) est l'argument pris dans ]0, 2Pi[ (la détermination de l'argument vient de celle du logarithme que l'on a choisie).

    Prenons z=r exp(i t) sur le cercle unité avec 0<t<2Pi : on va regarder les limites quand t->0 et quand t->2Pi. Dans le premier cas:

    et dans le second cas:

    Je te conseille de faire un dessin, afin de constater que dans les deux cas, z tend vers 1, mais que dans le premier cas, z est dans le demi-plan supérieur, et que dans le second, z est dans le demi-plan inférieur.

    Ceci est en rapport avec puisque cette intégrale vaut la différence d'une primitive (le log) aux points de départ et d'arrivée; on retrouve bien que:


    Ceci étant, dans le calcul, il y a un moment où tu retrouves dans le calcul une expression comportant log²(z+r)-log²(z-r): si r tend vers 0, tu vois maintenant qu'il faut faire attention à l'argument.

    J'espère que c'est un peu plus clair désormais.

    Bien à toi.

  25. #20
    jameso

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    salut martini bird;

    je pense que j'ai compris maintenant l'histoire de "en tournant autour de l'origine tu montes..." ; en fait j'avais du mal à comprendre que les z vivaient dans le plan et plus sur un axe réel

    si j'ai bien saisi , il faut empécher le log de faire un tour complet d'ou la demi-droite (une coupure je crois) ; z ne doit pas prendre la valeur z=1 sinon on aurait plusieurs plusieurs images differentes pour un même antécedent mais si j'ai bien compris on fait tendre z vers 1 par valeurs superieures et par valeurs inferieures et pourtant on ne trouve pas la même valeur...(0 puis 2i*pi) : ou est mon erreur?

    amicalement
    james

  26. #21
    martini_bird

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Citation Envoyé par jameso
    si j'ai bien saisi , il faut empécher le log de faire un tour complet d'ou la demi-droite (une coupure je crois) ; z ne doit pas prendre la valeur z=1 sinon on aurait plusieurs plusieurs images differentes pour un même antécedent mais si j'ai bien compris on fait tendre z vers 1 par valeurs superieures et par valeurs inferieures et pourtant on ne trouve pas la même valeur...(0 puis 2i*pi) : ou est mon erreur?
    Il n'y a pas d'erreur: le logarithme présente bien une discontinuité au niveau de la coupure. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas définir le log sur C* tout entier et qu'il faut être précautionneux dans son utilisation.

    Petit exercice pour voir si tu as compris: on considère la détermination du logarithme sur C privé de la demi-droite fermée de direction Pi/4 (la bissectrice dans le premier quadrant) et telle que log(1)=2i Pi.
    Question: quelle est la limite sur le cercle unité de log(z) quand z tend vers la coupure (attention: deux limites)? Quelle est la différence entre ces deux limites?

    Réponse (surligner pour voir):par "en dessous": 9iPi/4 et par "au-dessus": iPi/4. La différence vaut toujours 2iPi

    Sincèrement.

  27. #22
    jameso

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    bonjour,
    je reviens sur le sujet car j'ai une petite question de paramétrage sur le calcul de l'intégrale entre 0 et oo de 1/(1+x^3)

    on me propose un contour que je décris:
    1/ on va d'abord de 0 à R
    2/ puis on va de R à Rexp (i 2PI/3) (arc de cercle)
    3/ on revient de Rexp(i 2PI/3) à 0

    en fait c'est la partie 3 de mon chemin que je n'arrive pas à paramétrer ;j'ai pensé poser z=t+is avec t dans [-1/2,0] mais je n'arrive pas à continuer.. pouvez vous m'aider?

    PS: pour le résidu j'ai trouvé (PI*sqrt(3))/3 -PI/3i si ça interesse qqn de vérifier...

    merci
    jameso

  28. #23
    martini_bird

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    Salut,

    pour le paramétrage, il suffit de prendre t.exp(2i pi/3) avec t variant de R à 0.

    Pour le résidu, j'ai trouvé exp(-2i pi/3)/3...

    A+

  29. #24
    jameso

    Re : calcul d'intégrale avec résidu

    merci martini bird, j'avais trouvé la solution entre temps ;

    oui tu as raison ,le résultat que je propose avant n'est pas le résidu (à 2iPI près )

    jameso

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