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Calcul d'intégrale par résidu



  1. #1
    Ecliotar

    Calcul d'intégrale par résidu


    ------

    Voila, je suis face à une intégrale que je n'arrive pas à calculer. Il s'agit d'intégrer la fonction ln((1+x)/(1-x))/x par rapport à x entre 0 et 1. J'ai essayé plusieurs méthodes et j'ai l'impression que le calcul de cette intégrale doit être mené en utilisant le théorème des résidus de Cauchy et le lemme des petites et grandes encoches. Mais la singularité en 0 est très gênante. Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait sympa.

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Calcul d'intégrale par résidu

    Salut,

    je te propose une autre méthode: l'intégrande peut être découpée en deux:



    En développant en série autour de 0, et en intégrant terme à terme (je te laisse le soin de justifier que c'est licite ), tu obtiens la série alternée qui se calcule aisément () en se ramenant à .

    De même et la seconde intégrale vaut .

    Ainsi

    La méthode des résidus marche peut-être, mais je n'ai pas trop d'idée du contour à prendre.

    Cordialement.

  4. #3
    Ecliotar

    Re : Calcul d'intégrale par résidu

    Merci, tout ceci est bien utile. En fait, j'avais envisagé cette méthode sans découper l'intégran en deux. J'avais développé la fonction ln((1+x)/(1-x))/x en série de puissance pour obtenir "fig1.jpg" qui est intégrable terme à terme grâce à la convergence uniforme de la série sur ]-1;1[. Cela donne, comme valeur de l'intégrale, "fig2.jpg" que je n'arrive pas à calculer. Tu parviens à calculer "fig3.jpg" et "fig4.jpg" , pourrais-tu m'expliquer comment tu fais(je ne vois pas ce qu'est cette fonction dzéta). Y a-t-il moyen d'appliquer ta méthode au calcul de "fig2.jpg" directement?

    Pour ce qui est de la méthode par résidus, j'avais envisagé un contour du type "fig5.jpg" en faisant tendre R vers l'infini, e et e' indépendamment vers 0.
    Images attachées Images attachées  
    Dernière modification par Ecliotar ; 25/02/2005 à 18h51.

  5. #4
    Ecliotar

    Re : Calcul d'intégrale par résidu

    J'ai eu petit problème avec les pièces jointes; les voici
    Images attachées Images attachées
    Dernière modification par Ecliotar ; 25/02/2005 à 19h04.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Re : Calcul d'intégrale par résidu

    Salut,

    Citation Envoyé par Ecliotar
    Tu parviens à calculer "fig3.jpg" et "fig4.jpg" , pourrais-tu m'expliquer comment tu fais
    la somme s'exprime en fonction de : en effet,



    Par définition la fonction de Riemann est si ,

    La valeur est due à Euler: c'est un résultat classique dont la démonstration n'est cependant pas triviale.

  8. #6
    martini_bird

    Re : Calcul d'intégrale par résidu

    Citation Envoyé par Ecliotar
    Y a-t-il moyen d'appliquer ta méthode au calcul de "fig2.jpg" directement?
    Oui: cette série vaut

    .

    Je te laisse la fin du calcul.

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  10. #7
    Ecliotar

    Re : Calcul d'intégrale par résidu

    Un TOUT GRAND MERCI : en manipulant la série comme toi, j'obtiens (pi^2)/4 qui est le résultat attendu pour la valeur de l'intégrale.

    Existe-t-il une forme analytique de la fonction de Riemann? Ou n'a-t-on découvert que des résultats ponctuels comme dzéta(2)=(pi^2)/6 ? J'aimerais aussi pouvoir regarder la démonstration. Si tu connais d'autres résultats classiques de genre ils m'intéressent à titre préventif (je les essaierais si une autre série de ce genre se présente).

    A+

    Ecliotar

  11. #8
    martini_bird

    Re : Calcul d'intégrale par résidu

    Salut,

    tu peux visiter ce site.
    Sinon, tu peux chercher sous google, il y pas mal d'infos disponibles sur le net.

    Cordialement.

  12. #9
    Ecliotar

    Re : Calcul d'intégrale par résidu

    J'ai trouvé de multiples sources sur le net qui démontrent la formule de différentes manières. Le site le plus intéressant étais : http://mathworld.wolfram.com/Riemann...tionZeta2.html jusqu'à ce que tu m'indique ce site qui à l'aventage d'être en français!

    Encore merci

    Ecliotar

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