Bijections-Algèbre de Boole

[inviteab2b41c6]

Salut,
j'ai entendu dire que si on se donnait une algebre de Boole B, alors il existait un ensemble X tel que B~P(X) où P(X) est muni des lois qui lui confèrent les propriétés d'une telle algèbre (intersection=+ et différence symétrique=*)

En fait dans un truc qui n'avait aucun rapport, j'ai remarqué que si l'on se donnait une fonction d'un anneau intègre X dans lui même telle que f²=f, alors je pouvais lui faire correspondre une et une seule partie A de X telle que
A²=A.

Remarquons que si f²=f, alors pour tout x de X, on a f(x)²=f(x) et en particulier x=1 ou x=0. (puisque X est intègre). f est donc la fonction caracteristique d'un ensemble A.
Soit G(f) l'ensemble dont f est la fonction caracteristique.
G est clairement bijective de l'ensemble des telles fonctions dans P(X).
En jouant sur les opérations liant les fonctions caracteristiques et les opérations liant les ensembles, je pense qu'on s'en tire très bien pour montrer que l'on a un isomorphisme.

Mais comment montrer que l'on peut TOUJOURS trouver un ensemble X pour lequel ca marche?
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[invite4793db90]

Salut,

bien dormi?

Juste pour préciser les notations, on a une algèbre de Boole , un anneau intègre , l'ensemble des fonctions de X dans X telles que et enfin l'ensemble des parties de X munis de sa structure d'algèbre .

On a effectivement une bijection gràce aux applications et .

Pour avoir un isomorphisme, il faut coller une structure d'algèbre de Boole sur : le plus simple est je pense de poser:
, et (multiplication dans X).

Alors, je suis d'accord que G est un isomorphisme d'algèbres de Boole.

Mais comment montrer que l'on peut TOUJOURS trouver un ensemble X pour lequel ca marche?

Je n'ai pas de contre-exemple à te proposer (je vais y réfléchir), mais il me semble qu'on ne peut pas toujours identifier une algèbre B quelconque avec P(X) pour un ensemble X bien choisi... En fait, si mes souvenirs sont bons, on peut identifier B au mieux à une sous-algèbre de P(X).

A+

[inviteab2b41c6]

Salut,
oui en fait c'est ca, c'est uen sous algebre de P(X), et pas P(X) tout entier. En fait je ne l'ai pas précisé.
Je pense qu'il doit exister des algèbres de boole a 3éléments:
{0,1,a}
Et dans ce cas aucun X ne conviendrait (puisque card(P(X))=2^qqchose)

[invite4793db90]

Il me semble que dans la démonstration, on a besoin d'avoir en plus une relation d'ordre sur l'algèbre (classiquement l'inclusion).

Merci pour le contre-exemple!

[A voir en vidéo sur Futura]