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Autre définition de la notion de groupe



  1. #1
    invite6754323456711
    Invité

    Autre définition de la notion de groupe


    ------

    Bonjour,

    Wikipédia donne une autre définition de la notion de groupe :

    "On peut définir un groupe comme toute partie non vide et stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même.

    Cette définition présente les avantages suivants :

    * elle nécessite peu de formalisme
    * elle ne s'encombre pas de théorèmes (le neutre et l'inverse deviennent nécessairement uniques)
    * elle fournit une vision plus géométrique d'un groupe
    * elle tient en très peu de place

    "

    En fait j'ai du mal à comprendre cette définition et de ce fait les similitudes avec la notion traditionnelle de groupe : ensemble muni d'une loi de composition interne ayant les propriétés (identité, inverse, fermeture et associativité).

    Qu'entend on exactement par "toute partie non vide et stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même" ?

    La loi de composition interne est vue comme un automorphisme ?

    Merci
    Patrick

    -----

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  4. #2
    God's Breath

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Qu'entend on exactement par "toute partie non vide et stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même" ?

    La loi de composition interne est vue comme un automorphisme ?
    Soit un ensemble quelconque, l'ensemble des bijections de dans lui-même, muni de la composition des applications, est un groupe.

    Une partie non vide et stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même en est un sous-groupe.

    Soit maintenant un groupe, et un de ses éléments.
    L'application est une bijection de dans lui-même, c'est-à-dire un élément de .
    L'application est un morphisme de dans .
    Comme ce morphisme est injectif, est isomorphe au sous-groupe de .

    Ainsi tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe de bijections d'un ensemble dans lui-même.

  5. #3
    Médiat

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Cette définition présente les avantages suivants :
    * elle nécessite peu de formalisme
    Je ne suis pas du tout certain de cet aspect, peux-tu formaliser cette définition, pour voir ?

    Pour mémoire, la théorie des groupes avec sa définition habituelle est une théorie du premier ordre qui s'exprime avec peu d'axiomes.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #4
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Bonjour,

    Merci pour ta réponse.

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Soit un ensemble quelconque, l'ensemble des bijections de dans lui-même, muni de la composition des applications, est un groupe.
    J'ai cru comprendre que cela s'appelle aussi un groupe de symétrie. Donc une instance (un objet) de la classe (Catégorie) des groupes.


    Soit maintenant un groupe, et un de ses éléments.
    L'application est une bijection de dans lui-même, c'est-à-dire un élément de .
    C'est une permutation ?

    Ainsi tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe de bijections d'un ensemble dans lui-même.
    Oui. Mais en quoi c'est une nouvelle définition de la notion de groupe ? La définition utilise déjà en elle même la notion de groupe qu'elle doit définir ?


    Patrick

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je ne suis pas du tout certain de cet aspect, peux-tu formaliser cette définition, pour voir ?
    Non je ne peux rien formaliser du tout. Je cherche au contraire à comprendre le formalise de la notion de groupe défini dans Wikipédia sous la rubrique Autre Définition : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes

    "On peut définir un groupe comme toute partie non vide et stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même."

    La phrase en elle même est très difficile à comprendre. God's Breath semble m'en avoir donné une explication mathématiques.

    toute partie non vide : je pense au sens des ensembles.

    stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même : C'est la que ça ce corse.

    God's Breath m'invite à faire le lien avec la notion de sous-groupe : un sous-ensemble H d'un groupe G est un sous-groupe si, et seulement si, il est non-vide et stable par l'opération et l'inverse.

    En fait je ne comprends pas bien déjà la signification de la phrase "passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même". L'inverse des bijections c'est lui même ? composition entre quoi et quel inverse ?

    Patrick

  9. #6
    God's Breath

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Non je ne peux rien formaliser du tout. Je cherche au contraire à comprendre le formalise de la notion de groupe défini dans Wikipédia sous la rubrique Autre Définition : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes

    "On peut définir un groupe comme toute partie non vide et stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même."

    La phrase en elle même est très difficile à comprendre. God's Breath semble m'en avoir donné une explication mathématiques.

    toute partie non vide : je pense au sens des ensembles.

    stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même : C'est la que ça ce corse.

    God's Breath m'invite à faire le lien avec la notion de sous-groupe : un sous-ensemble H d'un groupe G est un sous-groupe si, et seulement si, il est non-vide et stable par l'opération et l'inverse.

    En fait je ne comprends pas bien déjà la signification de la phrase "passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même". L'inverse des bijections c'est lui même ? composition entre quoi et quel inverse ?
    Je viens de comprendre ton problème, c'est tout simplement la ponctuation :

    On peut définir un groupe comme toute partie, non vide et stable par composition et passage à l'inverse, des bijections d'un ensemble sur lui même.

    Il faut comprendre "non vide et stable par composition et passage à l'inverse" comme une énumération des propriétés de la partie, et "des bijections d'un ensemble sur lui même" comme complément du nom "partie", mais pas du nom "inverse".

    Une meilleure formulation serait :
    On peut définir un groupe comme toute partie [de l'ensemble] des bijections d'un ensemble sur lui même, cette partie étant non vide et stable par composition et passage à l'inverse..

    Tu digères, et je reviens sur la "nouveauté" de cette définition.

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  11. #7
    Médiat

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Non je ne peux rien formaliser du tout.
    Désolé, j'avais cru, en lisant trop vite que cette appréciation était de toi (je mets toujours mes citations entre balises quote). En tout état de cause j'y suis tout à fait opposé . De même que je ne comprends pas le sens de la phrase :
    elle ne s'encombre pas de théorèmes (le neutre et l'inverse deviennent nécessairement uniques)",
    une théorie qui s'encombre de théorèmes est une notion nouvelle pour moi.

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même : C'est la que ça ce corse.
    La composition de bijections est bien une bijection, de même que l'inverse d'une bijection, que l'ensemble soit stable veut simplement dire que la composée de deux de ses bijections et l'inverse de ses bijections est encore dans le même ensemble.

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    En fait je ne comprends pas bien déjà la signification de la phrase "passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même". L'inverse des bijections c'est lui même ? composition entre quoi et quel inverse ?
    En fait cette définition est une traduction du théorème (encombrant ou non ? ) qui dit que tout groupe est isomorphe à une partie non vide et stable par composition et passage à l'inverse des bijections d'un ensemble sur lui même.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #8
    God's Breath

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    J'ai l'impression que ce fil devient un dialogue de sourds...

  13. #9
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Une meilleure formulation serait :
    On peut définir un groupe comme toute partie [de l'ensemble] des bijections d'un ensemble sur lui même, cette partie étant non vide et stable par composition et passage à l'inverse..
    Oui cela commence à devenir plus clair. Soit G une partie des bijections d'un ensemble sur lui même. Pour tout f, g appartenant à G. f o g-1 appartient à G ?


    Patrick

  14. #10
    God's Breath

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Oui cela commence à devenir plus clair. Soit G une partie des bijections d'un ensemble sur lui même. Pour tout f, g appartenant à G. f o g-1 appartient à G ?


    Patrick
    La définition proposée est :
    (ensemble des bijections de dans lui-même.



  15. #11
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Une meilleure formulation serait :
    On peut définir un groupe comme toute partie [de l'ensemble] des bijections d'un ensemble sur lui même, cette partie étant non vide et stable par composition et passage à l'inverse..

    Tu digères, et je reviens sur la "nouveauté" de cette définition.
    Comment à partir de cette nouvelle définition de la notion de groupe peut on retrouver la définition traditionnelle.

    "Toute partie [de l'ensemble] des bijections d'un ensemble sur lui même" correspondent à la loi de composition interne ?

    "stable par composition et passage à l'inverse" permet de retrouver les propriétés de la structure de groupe ?

    Merci
    Patrick

  16. #12
    Médiat

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Comment à partir de cette nouvelle définition de la notion de groupe peut on retrouver la définition traditionnelle.
    La composition des bijections d'un ensemble sur lui-même est associative, le sous-ensemble est stable par composition (loi de composition interne), par inverse (donc l'inverse existe dans ce même ensemble) donc l'identité est dans l'ensemble (c'est la composée d'une bijection (or la partie est non vide) et de son inverse) qui est l'élément neutre.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  18. #13
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    La composition des bijections d'un ensemble sur lui-même est associative, le sous-ensemble est stable par composition (loi de composition interne), par inverse (donc l'inverse existe dans ce même ensemble) donc l'identité est dans l'ensemble (c'est la composée d'une bijection (or la partie est non vide) et de son inverse) qui est l'élément neutre.
    On a l'impression que l'on définit plutôt un équivalent des notions d'espace dual et d'application linéaire.

    L'ensemble des bijections d'un ensemble sur lui-même avec la loi de composition (o) est un groupe au sens traditionnel.

    Patrick

  19. #14
    Médiat

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    L'ensemble des bijections d'un ensemble sur lui-même avec la loi de composition (o) est un groupe au sens traditionnel.
    Oui, et tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe de cette forme.

    Personnellement, je ne doute pas qu'il y ait des avantages à cette définition (qui est correcte), mais pour l'instant je ne les vois pas.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #15
    God's Breath

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    On reprend depuis le début :
    Citation Envoyé par Médiat
    Pour mémoire, la théorie des groupes avec sa définition habituelle est une théorie du premier ordre qui s'exprime avec peu d'axiomes.
    La théorie des groupes est définie sur le langage , où est un symbole de constante, un symbole de fonction binaire, un symbole de fonction unaire, par les axiomes:
    ;
    ;
    .

    Un groupe est un modèle (une réalisation dans la théorie des ensembles) de cette théorie.

    En particulier, pour tout ensemble , on dispose de la -structure , où
    est l'ensemble des bijections de dans lui-même
    est l'application de dans lui-même
    qui fournit un modèle de la théorie des groupes.

    Si est un modèle de la théorie des groupes, en faisant opérer sur lui-même par translations à gauche, on montre que est isomorphe à un sous-groupe de .

    On passe du point de vue "objet" (un élément de est un objet, et on dispose d'une loi de composition sur ces objets) au point de vue "fonction" (un élément de est une fonction qui agit sur les éléments de par la loi de composition).

    C'est très net avec le langage des catégories :
    La catégorie des groupes a pour objets les groupes au sens ensembliste, et pour flèches les morphismes de groupes.

    Mais ont peut définir un groupe en termes de flèches.

    Etant donné un ensemble , on dispose d'une catégorie à un seul objet, , dont les flèches sont les bijections de dans lui-même. On définit alors un groupe comme un ensemble de flèches, non vide, stable par composition et par passage à l'inverse : c'est la définition à laquelle tu es confronté.
    Un morphisme de groupe est alors un foncteur entre deux telles catégories.

    Médiat pourra certainement être plus précis que moi sur la question.

  21. #16
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Oui, et tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un groupe de cette forme.
    Cela définit qu'il y a des similitudes entre le groupe et le sous-groupe auquel le groupe est isomorphe. Les propriétés du sous-groupe (peut être plus facile à identifié) se retrouve aussi dans le groupe.

    Patrick

  22. #17
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Je vous remercie (God's Breath et Médiat) pour toutes ces précisions qui m'aident grandement à comprendre cette nouvelle approche de la théorie des groupes.

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    On reprend depuis le début :

    La théorie des groupes est définie sur le langage , où est un symbole de constante, un symbole de fonction binaire, un symbole de fonction unaire, par les axiomes:
    ;
    ;
    .
    Ce formaliste que tu donnes est très clair.

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Un groupe est un modèle (une réalisation dans la théorie des ensembles) de cette théorie.

    En particulier, pour tout ensemble , on dispose de la -structure , où
    est l'ensemble des bijections de dans lui-même
    est l'application de dans lui-même
    qui fournit un modèle de la théorie des groupes.

    Si est un modèle de la théorie des groupes, en faisant opérer sur lui-même par translations à gauche, on montre que est isomorphe à un sous-groupe de .
    Translation à gauche c'est en rapport avec la notion d'inverse à gauche d'un isomorphisme dans la théorie des catégories (http://fr.wikipedia.org/wiki/Isomorphisme) ?

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    (un élément de est une fonction qui agit sur les éléments de par la loi de composition).
    Ce point est ambigu pour moi. C'est le même donc il est question ? un élément de est une fonction qui agit sur les fonctions elle même ?

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    C'est très net avec le langage des catégories :
    La catégorie des groupes a pour objets les groupes au sens ensembliste, et pour flèches les morphismes de groupes.
    ?

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Mais ont peut définir un groupe en termes de flèches.
    morphismes de groupes ?

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Un morphisme de groupe est alors un foncteur entre deux telles catégories.
    Quelles sont les deux catégories dont tu parles ? Une c'est surement la catégorie des groupes ?

    Citation Envoyé par Wikipédia
    Une catégorie est une formulation axiomatique relative à l'idée de relier des structures mathématiques aux fonctions qui préservent leur structure.
    Une catégorie est elle-même un type de structure mathématiques dont il existe des processus qui préservent sa structure. De tels processus sont appelés foncteurs.

    Merci
    Patrick

  23. #18
    God's Breath

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    [QUOTE=ù100fil;1640467]Translation à gauche c'est en rapport avec la notion d'inverse à gauche d'un isomorphisme dans la théorie des catégories .

    La translation à gauche, c'est tout simplement l'application d'un groupe dans lui-même, défnie par , où est un élément du groupe.

    C'est le même donc il est question ? un élément de est une fonction qui agit sur les fonctions elle même ?

    Formellement, un élément de n'est pas une fonction de dans lui-même mais, dans ce point de vue sur les groupes, on est amené à identifier l'élément de avec la bijection de dans lu-même.
    Par exemple, si . L'addition des entiers munit cet ensemble d'une structure de groupe. Je ferai donc une différence entre qui désignera l'ensemble des entiers relatifs non structurés et qui désignera le groupe additif des entiers relatifs .
    Un entier, 2 par exemple peut-être étudié comme simple élément de , sans propriété additive. Dès qu'on l'étudie comme élément de , la seule propriété importante est que l'on peut l'additionner aux autres entiers, c'est-à-dire qu'il agit par l'application sur l'ensemble . Du point de vue de la structure additive, c'est qui intervient, pas l'entier 2 en tant que tel.
    On est donc amené à distinguer et . L'un est un ensemble, ses éléments sont vus du point de vue "objet", l'autre est un groupe, ses éléments sont vus du point de vue "opération sur les objets".

    Les catégories que j'envisage sont des catégories à un seul objet.
    Le groupe additif des entiers relatifs a
    – pour objet unique
    – pour flèches les translations pour .
    Autrement dit la catégorie représente le groupe par qui est un ensemble indexé par lui-même.

    Les élements du groupe sont les flèches de la catégorie, pas les éléments de l'objet unique de la catégorie.

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  25. #19
    homotopie

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Personnellement, je ne doute pas qu'il y ait des avantages à cette définition (qui est correcte), mais pour l'instant je ne les vois pas.
    Passons sur l'unicité du neutre et de l'inverse. La preuve est guère moins immédiate avec la définition classique. Parler d'encombrement de théorème est, tu as raison, un concept bien étonnant.
    Elle tient en très peu de place pour des groupes "concrets" (je précise ce que j'entends par là après), ça me semble vrai. La partie stable et sa stabilité se posent comme une simple conservation d'un objet mathématique. (Mais, à mon avis, ça alourdit le passage aux groupes abstraits.)
    Elle nécessite peu de formalisme pédagogiquement parlant dans le sens où l'opération de groupe, cette "mystérieuse loi de composition" (du point de vue étudiant), est toujours la composition d'applications (bijectives, en l'occurrence). Montrer que telle famille d'applications est un groupe est nettement simplifiée.

    Mais le meilleur argument est, pour moi, le suivant :
    elle fournit une vision plus géométrique d'un groupe
    Un groupe est quelque chose qui opère sur un ensemble en conservant certaines propriétés de cet ensemble, exemples :
    O(n) est la sous-partie des bijections de Rn qui conservent le distances entre les points. SO(n) conserve en plus l'orientation.
    Dn est la sous-partie des bijections de {1,..,n} qui conservent une certaine structure entre ces éléments ou sous-partie des bijections du plan conservant globalement un polygone régulier à n côtés donné.
    Sn, c'est dans sa définition même.
    ...
    Ce sont ceux-là que j'appelais "concrets".
    La définition d'un groupe comme sous-partie stable des bijections d'un ensemble est alors, pour moi, nettement meilleure.

    En fait, il y a deux manières de voir un groupe :
    a) "interne" : un groupe a tant d'éléments d'un certain ordre, certains commutent d'autres non, il y a un certain nombre de sous-groupes, certains sont distingués d'autres non... La définition la plus adaptée est la définition classique, je pense.
    b) "externe" : un groupe opère sur tel ensemble avec tels stabilisateurs, telles orbites..., sur tel autre ainsi... La définition la plus adaptée est la 2nde définition, je pense.
    La connaissance complète d'un aspect permet de connaître (théoriquement) complète l'autre. En gros si on connaît la "table" de la loi de composition, on peut définir tous les types d'opération sur un ensemble possible. Si on a au moins une opération fidèle du groupe sur un ensemble on peut en déduire la structure interne de ce groupe en exhibant un isomorphisme avec un sous-groupe du groupe des bijections de l'ensemble sur lequel le groupe opère.

    Au niveau théorique je ne vois pas (en tout cas je ne sais pas) comment on peut attribuer des avantages à une approche ou une autre (à part si une est vraiment plus lourde que l'autre mais ce n'est pas vraiment le cas ici). Au niveau pédagogique, par contre, je pense qu'il est préférable de commencer avec des groupes "concrets" et de s'attaquer à la théorie générale des groupes abstraits après.
    Perso, si je devais faire un cours sur les groupes je choisirai la 2nde définition. Exemples (éventuellement placés avant même la définition), sous-groupes, orbites, stabilisateurs... Je montrerais l'équivalence avec la définition classique juste avant de faire agir le groupe sur lui-même , sans le formalisme introduit par God's Breath (non pas que ce soit inintéressant, loin de là, mais les étudiants auront le temps de le voir ainsi plus tard et ça risque de les perdre dans un 1er temps) mais en gardant l'esprit (qui est celui de la géométrie). Car pour l' "anatomie" d'un groupe la définition classique me paraît meilleur. Par contre je considère que pour savoir ce qu'un groupe "a dans le ventre", le meilleur moyen est globalement de le faire opérer sur lui-même même si parfois il faut s'en détacher et rester à l'interne du groupe.

  26. #20
    God's Breath

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Un groupe est quelque chose qui opère sur un ensemble en conservant certaines propriétés de cet ensemble, exemples :
    O(n) est la sous-partie des bijections de Rn qui conservent le distances entre les points. SO(n) conserve en plus l'orientation.
    Dn est la sous-partie des bijections de {1,..,n} qui conservent une certaine structure entre ces éléments ou sous-partie des bijections du plan conservant globalement un polygone régulier à n côtés donné.
    Sn, c'est dans sa définition même.
    ...
    Ce sont ceux-là que j'appelais "concrets".
    La définition d'un groupe comme sous-partie stable des bijections d'un ensemble est alors, pour moi, nettement meilleure.
    Entièrement d'accord, c'est en particulier le problème de la représentation linéaire des groupes.

  27. #21
    homotopie

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    c'est en particulier le problème de la représentation linéaire des groupes.
    Tout à fait.

  28. #22
    Médiat

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Mais le meilleur argument est, pour moi, le suivant :
    elle fournit une vision plus géométrique d'un groupe
    J'avais bien compris cet aspect là (et son passage facilité vers la représentation linéaire), mais je n'en voyais pas l'avantage (la représentation linéaire et le théorème que j'ai cité (et démontré en peu de lignes pas God's Breath) ne posent aucun problème avec la définition abstraite), cet avantage c'est l'aspect pédagogique ; j'y mets, néanmoins, deux bémols (qui ne t'étonneront pas ) :
    1. En présentant les groupes en passant par les groupes "concrets" on facilite très certainement la compréhension des groupes "concrets" et même, sans doute, des groupes "abstraits", mais est-ce que l'on ne retarde pas la compréhension des "structures abstraites" ?
    2. Je ne pense pas que cette théorie soit du premier ordre (d'ou mon interrogation dans mon premier mail), on se refuse donc tous les théorèmes attachés à cette logique, pour n'en citer qu'un, le théorème de Löwhenheim-Skolem, que je choisis à dessein : on est loin des groupes "concrets".
    Autrement dit, deux approches pédagogiques différentes, peut-être pour deux publics différents ...

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Au niveau théorique je ne vois pas (en tout cas je ne sais pas) comment on peut attribuer des avantages à une approche ou une autre
    Le point 2 ci-dessus donne mon point de vue sur cette question.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #23
    God's Breath

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je ne pense pas que cette théorie soit du premier ordre (d'ou mon interrogation dans mon premier mail), on se refuse donc tous les théorèmes attachés à cette logique, pour n'en citer qu'un, le théorème de Löwhenheim-Skolem, que je choisis à dessein : on est loin des groupes "concrets".
    Je pense que la logique est toujours du premier ordre, sur le langage avec les trois axiomes usuels ; la syntaxe est donc inchangée.

    Par contre, les modèles admis sont très restrictifs, on modifie donc la sémantique et il se pourrait que certains résultats, comme le théorème de Löwhenheim-Skolem, soient perdus.

    Mais comme la théorie des "groupes abstraits" nous assure que, pour tout mdèle G, il existe un modèle, isomorphe à G, sous-groupe d'un groupe de bijections, je ne pense pas que l'on ait perdu des résultats syntaxiques.

    C'est purement heuristique et cela demanderait une formalisation précise.

  30. #24
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message

    Un groupe est quelque chose qui opère sur un ensemble en conservant certaines propriétés de cet ensemble, exemples :
    O(n) est la sous-partie des bijections de Rn qui conservent le distances entre les points. SO(n) conserve en plus l'orientation.
    Dn est la sous-partie des bijections de {1,..,n} qui conservent une certaine structure entre ces éléments ou sous-partie des bijections du plan conservant globalement un polygone régulier à n côtés donné.
    Sn, c'est dans sa définition même.
    ...
    Ce sont ceux-là que j'appelais "concrets".
    La définition d'un groupe comme sous-partie stable des bijections d'un ensemble est alors, pour moi, nettement meilleure.
    Cela rejoint la notion de classe d'équivalence ?

    La nouvelle approche sur les catégories semble avoir de forte similutude avec les notions informatiques de conception orienté objet. La Classe abstraite est la formalisation d'un concept. La Classe de base regroupe les objects ayant la même structure (ensemble de variables de classe) et même comportement (ensemble d'opérateur).

    Patrick




    Patrick

  31. Publicité
  32. #25
    Médiat

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Je pense que la logique est toujours du premier ordre, sur le langage avec les trois axiomes usuels ; la syntaxe est donc inchangée.
    Personnellement je ne vois aucune axiomatisation du premier ordre qui exprime la définition à partir de parties stables d'ensembles de bijections ...

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Mais comme la théorie des "groupes abstraits" nous assure que, pour tout mdèle G, il existe un modèle, isomorphe à G, sous-groupe d'un groupe de bijections, je ne pense pas que l'on ait perdu des résultats syntaxiques.
    Tous les théorèmes de la théorie des groupes abstraites sont "vrais" dans tous les modèles, donc dans tous les modèles à base de PSEB (partie stable d'un ensemble de bijections ), et vice versa par isomorphisme.
    Toute extension consistante de la théorie des groupes admet un modèle, donc un modèle isomorphe qui soit un PSEB, donc effectivement je suis bien persuadé que l'on ne perd rien en terme de résultats syntaxiques, mais on perd les outils de la logique du premier ordre, dont certains sont pas mal .

    Pour que les choses soient bien claires, je n'ai rien contre la "vision" PSEB, d'ailleurs, partir de la définition abstraite n'interdit en rien de se servir du théorème sur l'existence d'un modèle PSEB isomorphe à tout modèle ; ma réaction venait de la phrase de wikipédia "elle nécessite peu de formalisme" que je n'approuve pas du tout (que l'on passe par les catégories ou non d'ailleurs).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  33. #26
    God's Breath

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Personnellement je ne vois aucune axiomatisation du premier ordre qui exprime la définition à partir de parties stables d'ensembles de bijections ...
    Mon point de vue est que l'on ne change pas l'axiomatisation pour exprimer la définition des PSEB, mais la définition d'un modèle de la théorie...
    On n'est donc plus dans la théorie usuelle des modèles... mais on reste syntaxiquement en logique du premier ordre.
    C'est casuistique et quelque peu jésuite, mais je pense que cela doit pouvoir fonctionner.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pour que les choses soient bien claires, je n'ai rien contre la "vision" PSEB, d'ailleurs, partir de la définition abstraite n'interdit en rien de se servir du théorème sur l'existence d'un modèle PSEB isomorphe à tout modèle ; ma réaction venait de la phrase de wikipédia "elle nécessite peu de formalisme" que je n'approuve pas du tout (que l'on passe par les catégories ou non d'ailleurs).
    Tout à fait d'accord, s'il existait une définition nécessitant peu de formalisme, ça se saurait...

  34. #27
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Formellement, un élément de n'est pas une fonction de dans lui-même mais, dans ce point de vue sur les groupes, on est amené à identifier l'élément de avec la bijection de dans lu-même.
    Par exemple, si . L'addition des entiers munit cet ensemble d'une structure de groupe. Je ferai donc une différence entre qui désignera l'ensemble des entiers relatifs non structurés et qui désignera le groupe additif des entiers relatifs .
    Un entier, 2 par exemple peut-être étudié comme simple élément de , sans propriété additive. Dès qu'on l'étudie comme élément de , la seule propriété importante est que l'on peut l'additionner aux autres entiers, c'est-à-dire qu'il agit par l'application sur l'ensemble . Du point de vue de la structure additive, c'est qui intervient, pas l'entier 2 en tant que tel.
    On est donc amené à distinguer et . L'un est un ensemble, ses éléments sont vus du point de vue "objet", l'autre est un groupe, ses éléments sont vus du point de vue "opération sur les objets".
    C'est clair on comprend bien la différence entre l'ensemble et le groupe .

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Les catégories que j'envisage sont des catégories à un seul objet.
    Le groupe additif des entiers relatifs a
    – pour objet unique
    – pour flèches les translations pour .
    Autrement dit la catégorie représente le groupe par qui est un ensemble indexé par lui-même.
    Les élements du groupe sont les flèches de la catégorie, pas les éléments de l'objet unique de la catégorie.
    Le morphisme de dans n'a plus lieu d'être ?

    Les flèches represente un morphisme qui dans ce cas est pour --->

    Merci
    Patrick

  35. #28
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    La nouvelle approche sur les catégories semble avoir de forte similutude avec les notions informatiques de conception orienté objet. La Classe abstraite est la formalisation d'un concept. La Classe de base regroupe les objects ayant la même structure (ensemble de variables de classe) et même comportement (ensemble d'opérateur).
    Apparemment un lien a déja été fait il y a belle "heurette" : http://www-lsr.imag.fr/users/Catheri.../spec_mod.html

    Théorie des catégories
    L'importance égale des spécifications et des morphismes de spécifications a conduit à utiliser le formalisme des catégories. La théorie des catégories est en effet basée sur deux notions : l'objet (spécification) et la flèche (morphisme de spécifications), contrairement à la théorie des ensembles, qui repose sur le seul concept d'ensemble. D'autre part, la composition de plusieurs modules reliés par des morphismes de spécifications peut être formulée dans le cadre des catégories par des colimites de diagrammes. Un diagramme décrit formellement un assemblage de plusieurs modules, avec une gestion explicite des partages entre ces modules.
    D'autres Liens ont aussi été fait depuis belle lurette :
    Les liens entre -calcul et la théorie des catégories.

    Les liens entre la psychothérapie et la théorie des catégories : http://www.emdrrevue.com/blog/2006/0...psychotherapie

    ....
    Existe t-il à l'heure actuelle d'autre travaux dans le domaine de l'informatique théorique qui s'interressent à l'utilisation des méthodes mathématiques telle que la théorie des catégories ?
    Pour la conception et l'implantation de langage de programmation adapté au domaine du XML par exemple ?



    Patrick

  36. #29
    Médiat

    Re : Autre définition de la notion de groupe

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Existe t-il à l'heure actuelle d'autre travaux dans le domaine de l'informatique théorique qui s'interressent à l'utilisation des méthodes mathématiques telle que la théorie des catégories ?
    Pour la conception et l'implantation de langage de programmation [...]
    Oui, plusieurs langages ont été (ou sont développés) en se basant sur les catégories (de mémoire HASKELL) voire sur les Topos (langage ANUBIS, développé par un mathématicien Français (qui fait vachement bien la cuisine en plus ) son site est facile à trouver).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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