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Definition d'un groupe



  1. #1
    metacarambar

    Definition d'un groupe


    ------

    Bonjour à tous,

    Au lien wikipedia suivant, il y a un diagramme qui explique comment parvenir à la structure d'un groupe à partir d'un magma:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Magma_%28algebra%29

    Ce que je ne comprends pas: par le chemin de gauche la loi de composition interne est symogène, possède un élément neutre et est associative. Par le chemin de droite, elle est associative, possède un élément neutre et est inversible.

    Comment parvient-on a une structure mathématique identique (puisque les deux chemins ne sont pas symétriques) ?

    Merci.

    -----

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  3. #2
    Taar

    Re : Definition d'un groupe

    Salut !

    Citation Envoyé par metacarambar Voir le message
    Ce que je ne comprends pas: par le chemin de gauche la loi de composition interne est symogène, possède un élément neutre et est associative. Par le chemin de droite, elle est associative, possède un élément neutre et est inversible.

    Comment parvient-on a une structure mathématique identique (puisque les deux chemins ne sont pas symétriques) ?
    Ben c'est l'ensemble des trois propriétés (symogène, neutre, associative) qui entraîne l'inversibilité.

    Soit a un élément.
    Soient x et y les solutions uniques de ax=e et ya=e (e est le neutre).
    Alors (j'enlève les parenthèses grâce à l'associativité) :
    x=ex=yax=ye=y
    Donc le même x vérifie à la fois ax=e et xa=e.

    De même, l'ensemble des trois propriétés (associativité, neutre, inversible) entraîne que la loi est symogène. Je te laisse faire celle-là...

    Taar.

  4. #3
    metacarambar

    Re : Definition d'un groupe

    Citation Envoyé par Taar Voir le message
    De même, l'ensemble des trois propriétés (associativité, neutre, inversible) entraîne que la loi est symogène. Je te laisse faire celle-là...
    Merci Taar.

    Soient a,b
    il existe un unique X tel que aX = e
    (aX)b = e.b
    a(Xb) = b

    <=> il existe un unique x tel que a.x = b (avec x=Xb)

    Et idem pour l'autre côté (unique y / y.a=b).
    C'est bon non ?

    Du coup j'ai une autre question: existe-t-il un liste exhaustive des relations logiques que peuvent entretenir les différente propriété d'une loi de composition interne ?
    des expression logique du genre:
    si 'associative' alors 'alternative'
    si 'symogène' alors 'régulière'
    ...etc.

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