Je suis perdu en algèbre...

[invitee53284f6]

Salut à tous

Je viens de comprendre qu'en fait je comprends rien du tout en algèbre, tout ce qui est géométrie, structures algébriques, espaces vectoriels, familles, ...
J'ai beau apprendre les définitions et les propriétés, j'ai l'impression que ça sert strictement à rien. Je n'ai aucune intuition par rapport à ce qu'est un espace vectoriel par exemple. Ok c'est un espace de vecteurs, et je veux bien m'imaginer l'espace qui nous entoure comme constitué d'une infinité de vecteurs se baladant sur 3 axes. Mais je vois vraiment pas comment un ensemble de suites peut être un espace vectoriel; le problème c'est que j'en ai pas l'intuition, j'arrive pas à trouver la logique, le lien.

Dès la primaire déjà j'avais des difficultés par rapport à ça. J'étais le meilleur pour tout ce qui était manipulation des nombres, mais dès qu'on passait à la géométrie j'étais perdu. Maintenant je suis en prépa, et je vois que ça a toujours pas changé. Quand il s'agit de calculer, presque "bêtement", je suis toujours là (dérivation, DL, équa diff, fonctions, ...), mais le reste ça passe vraiment pas, surtout l'algèbre linéaire...

Hier je me suis penché sur un DM de maths, comme d'habitude j'ai rapidement répondu aux questions du style "montrer l'inégalité ...", mais quand on me demande "donner une base du noyau de f" ou "vérifier que cette application est un isomorphisme", je suis à la rue.
Le truc c'est que j'arrive pas à me représenter ce qu'est le noyau d'une application (un exemple parmis tant d'autres). On dit qu'il s'agit de l'ensemble des éléments de l'ensemble de départ dont l'image par l'application est nulle. D'accord, je veux bien, mais pourquoi? Pourquoi on a défini le noyau comme ça? Où est l'intérêt? Qu'est-ce que ça représente?
Ou encore, pourquoi l'application est injective quand son noyau est nul?

Je suis pas sur de l'utilité d'avoir écrit tout ça, on verra bien...
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[invitebe0cd90e]

Ca fait pas mal de question, et plutot conceptuel. eponse rapide :

- intuitivement, un espace vectoriel est un ensemble tel que tous ses elements peuvent etre defini par des coordonnées. La notion d'espace vectoriel est donc la structure commune a tout ca, donc travailler dessus "abstraitement" donne des resultats sur tous ces ensembles et il y en a. donc evidemment "notre" espace a 3 dimension est un espace vectoriel, mais a peu de choses pres un menu chez burger king aussi ! une fois que tu as fixé une base, par exemple (frite, hamburger, coca), il suffit de dire que tu commande le vecteur (3,4,7) pour qu'on scahe ce que tu veux c'est un peu bidon, comme exemple, mais en gros c'est ca, la notion d'espace vectoriel se veut la structure commune aux ensemble dont les elements sont accessibles par des coordonnées. C'est tout l'interet de l'algebre de reussir a "abstraire" les propriété fondamentale d'une notion pour travailler dans le cadre le plus general possible.

- Ensuite, le noyau, en gros il definit la "precision" d'une application lineaire. tu es d'accord qu'en prenant une application qui envoit tout le monde sur 0, cette application "ecrase" toute l'information qu'on avait sur l'espace de depart, elle le reduit a neant.

A l'inverse, puisque f est lineaire, f(a)-f(b)=f(a-b). Donc si le noyau de f est nul, et si a est different de b, alors f(a-b) est different de 0, et donc f(a) est different de f(b). La c'est donc tout le contraire, si le noyau est nul, des elements differents sont envoyé sur des elements differents, donc l'application "recopie" l'espace de depart dans l'espace d'arrivee (on dit que f est injective). Dans ce cas f "preserve" tout l'espace de depart.

Dans le cas des e.v., tu peux interpreter le fait que le noyau ne soit pas nul par le fait que f "ecrase" certaine dimensions, par exemple si tu pars d'un espace de dimension 3, et que le noyau de f est de dimension 1, alors ca veut dire que f "applatit" l'espace de depart, elle prend une de ses dimension qu'elle ecrase sur 0... donc tu perds une dimension en route, l'image de l'espace de depart sera de dimension 2, cad que des tas de vecteurs differents ont ete impitoyablement annulé.

Ah, et non ca n'est pas inutile, c'est peu enseigné mais fondamental de comprendre l'utilité et la profondeur de la notion de structure et des notions liées (morphisme, noya, image, quotient). ce sont des concepts feconds et profonds, et quand tu comprends la logique tu t'apercois que toutes les structures algebriques fonctionnent exactement de la meme maniere.

[invitee53284f6]

Ah voilà ça devient beaucoup plus clair pour le noyau ainsi que pour l'histoire de l'injectivité. Pour ce qui est de la représentation d'un espace vectoriel, c'est pas encore la joie. Ton explication est très claire là y'a pas de problème, c'est juste que je sens que j'ai encore du mal à voir ce que c'est...

en tout cas merci