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Composition des équivalents



  1. #1
    Le Cid

    Question Composition des équivalents


    ------

    Bonjour,

    J'étudie la convergence de

    Le problème en est simple, passons.

    En par contre j'ai regardé le corrigé de l'exercice...

    On pose

    ... On arrive par des développements limités à

    Et là, je ne comprends pas la suite de la ligne:

    ; on peut donc passer au logarithme dans l'équivalent.

    (fin de citation)

    Je sais qu'il n'y a pas de résultat général concernant la composition des équivalents. Alors sur quoi se base cette déduction?

    Pour revenir à l'exercice (pour ceux que ça intéresse):
    Le "passage au logarithme" de l'équivalence permet d'écrire:



    Merci! (pfiou! galère, LaTeX)

    -----

  2. #2
    Ledescat

    Re : Composition des équivalents

    Salut.

    Il n'y a pas de règle générale pour la composition. Enfin si: en général, l'équivalent d'une composée n'est pas la composée des équivalents .

    Seulement, il y a des cas où on aimerait bien avoir des composées d'équivalents (c'est le cas pourle ln et l'exp en particulier).
    Après ue petite étude, on établit une règle:

    Si u(x)~v(x) en un point particulier et v(x) et u(x) ne tendent pas vers 1 en ce point, alors on peut dire que ln(u(x))~ln(v(x)) en ce point.
    S'ils tendent vers 1, il faut bannir la composition par ln, ou faire une étude plus approfondie.

    Pour l'exp, il faut u(x)-v(x) ->0 pour pouvoir affirmer que exp(u(x))~exp(v(x)).

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  3. #3
    Le Cid

    Re : Composition des équivalents

    Merci!

    Utiles ces deux petites règles.

    Malheureusement, elles sont "hors programme" (prépa PC) car elles ne figurent pas dans mon cours d'étude locale, mais doivent cependant être "à la limite du programme" puisqu'elles sont utilisées (sans explication) dans un bouquin d'exercice pour PC.

    Je viens de chercher dans mon bouquin de cours (Deschamps), elles font en fait l'objet d'exercices dans la liste d'exercices qui suivent le cours...

    Je n'ai donc pas à te demander de démo

  4. #4
    thepasboss

    Re : Composition des équivalents

    Bonjour !
    Hum je n'ai trouve pas mention de ces deux chtites règles dans mon cours...
    Pt'être 5 minutes d'absence ? (honte sur moi)

    Du coups quelqu'un aurait-il un lien vers une démonstration de ces deux propriétés ? (ça peut servir)

    merci d'avance !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Le Cid

    Re : Composition des équivalents

    Je m'y colle!

    Pour l'exponentielle:



    Pour le logarithme:

    On suppose:
    • f et g strictement positives au voisinage de a

    • (l peut être 0 ou )



    Voilà!

  7. #6
    thepasboss

    Re : Composition des équivalents

    Merci beaucoup !

    pratiques ces petites règles !

  8. #7
    Ana_20

    Re : Composition des équivalents

    mais il y a un problème dans la démo avec 0 parce 0/0 est une forme indéterminée ?

  9. #8
    topmath

    Re : Composition des équivalents

    Bonjour
    Citation Envoyé par Ana_20 Voir le message
    mais il y a un problème dans la démo avec 0 parce 0/0 est une forme indéterminée ?
    J' ai du mal à suivre d' après votre remarque a --> vers quoi ? je pense vous voulez dire dans le message #5 n' est ce pas .

    Cordialement

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Composition des équivalents

    Pour Ana_20.

    Pour l=0, on ne peut pas conclure que ça tend vers 0. C'est tout !
    On se sert du fait que la limite de ln(g) n'est pas nulle (rédige complètement la preuve esquissée par Le Cid).

    Cordialement.

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