base de Im(f)

[invite3e7de3b6]

bonjour,

voila je suis bloqué pour mon DM de maths et je ne peux pas continuer sans ça! On a E l'ensemble des vecteurs de l'espace (donc de dimension 3).
f un endomorphisme qui va de E dans E tel que f(x,y,z)=(4y+2z;2x-2z;4x+8y)
il faudrait trouver une base de Im(f)

Auparavant on m'a demandé de trouver une base et la dimension de ker(f):
on aboutit alors au système 4y+2z=0
2x-2z=0
4x+8y=0
Rien de bien compliqué en apparence on résout on trouve une base de ker(f) constituée d'un vecteur donc dim(ker(f))=1
Cela implique (théorème du rang) que la base de Im(f) doit être constituée de 2 vecteurs pour que dim(Im(f))=2.
mais la ça coince je ne vois vraiment pas le peu d'idées que j'ai me conduisent à des bases de 3 vecteurs.
merci d'avance
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[inviteedb947f2]

Si tu trouve que la dimension de l'image est de deux, une base de cet ensemble image est simplement composé de deux vecteur de cet ensemble formant une famille libre.

En gros, il faut trouver deux vecteur image de f, formant une famille libre, ce qui a mon avis n'est pas epuisant

[invite5c80e8b0]

Il suffit d'appliquer f aux vecteurs de la base canonique, on obtient

f(0,0,1) = ( 1 - 1 0 ) = e1
f(0 1 0) = ( 1 0 2 ) = e2
f(1 0 0) = ( 0 1 2 ) = e3

or e3 = e2-e1, la famille est donc liée ...
e1 et e2 constitue donc une famille libre, et génératrice, c'est une base.

[invite3e7de3b6]

exact en effet! c'est trés gentil en tout cas je vais pouvoir continuer!
merci

[A voir en vidéo sur Futura]