intégrale curviligne pb

[invite37a56d45]

Bonjour tout le monde, je suis en pleine révision et j'ai un petit souci pour un exo, donc je sollicite votre aide !

on me demande de calculer l'integrale curviligne de (xdy-ydx)/(x²+y²)
sur le cercle de rayon R et de centre (a,b)

j'ai verifié facilement qu'elle était fermée, mais je n'arrive pas a savoir si elle est exacte... en effet si w est etoilé alors c'est exacte et donc mon intégrale vaut 0.

Mais j'ai quelques pb avec la notion d'ensemble étoilé ...
si quelqu'un pouvait m'aider...
merci !!
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[invite57a1e779]

on me demande de calculer l'integrale curviligne de (xdy-ydx)/(x2+y2)
sur le cercle de rayon R et de centre (a,b)

Et si tu utilisais tout bêtement une représentation paramétrique du cercle à l'aide de fonctions trigonométriques ?

[invite37a56d45]

mmmm ce que tu dis c'est que je pose :
x=a+Rcost
y=b+Rsint

mais du coup j'ai un truc supra moche en bas ; ça fait x²+y²=(a+Rcost)²+(b+Rsint)²


et je touve ça pas top ...

le truc c'est que je suis presque sûr qu'elle est exacte il faut donc que je montre que c'est étoilé ça reglerait mon pb mais je ne sais pas comment faire ...

d'ailleurs au passage une autre question : si une fonction est fermée mais non étoilé, cela implique t'il qu'elle n'est pas exacte ?

[invitec053041c]

La forme différentielle (xdy-ydx)(x²+y²) n'est pas fermée..

Bon si c'était le cas, la forme différentielle est définie sur IR², tu sais que IR² est connexe, donc étoilé, donc la différentielle serait exacte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Ledescat !!!

La forme est bien fermée :

mais elle n'est définie que sur qui n'est pas étoilé.
La valeur de l'intégrale dépend de la position de l'origine par rapport au cercle.
(Revoir le théorème d'Ampère en électromagnétisme...)

[invitec053041c]

Ah mais j'avais pas vu la barre de fraction, je pensais que c'était un produit..au temps pour moi .

En plus j'ai dit une absurdité:

IR² est connexe, donc étoilé

Je voulais dire: IR² est convexe donc étoilé.

[invite57a1e779]

mmmm ce que tu dis c'est que je pose :
x=a+Rcost
y=b+Rsint

J'envisageais d'utiliser des coodonnées polaires du centre du cercle et d'utiliser :


qui simplifie bien les calculs dès que l'on connaît la formule de ...

[invite37a56d45]

ok donc si j'ai bien compris, si mon cercle ne contient pas (0,0) alors c'est étoilé ?

je vais essayer de me debrouiller ! merci pour votre aide !!

[invite57a1e779]

ok donc si j'ai bien compris, si mon cercle ne contient pas (0,0) alors c'est étoilé ?

je vais essayer de me debrouiller ! merci pour votre aide !!

Si l'origine n'est pas intérieure au cercle, tu peux considérer une doite qui sépare le cercle de l'origine.
Le demi-plan ouvert, limité par cette droite, qui contient le cercle, est convexe, donc étoilé...

[invite37a56d45]

ok ! merci beaucoup !

[invitec053041c]

Un ensemble est étoilé si tu peux trouver un point de ton ensemble qui "voit" tous les points de ton ensemble en gros.. Faut pas se laisser impressionner .

[invite37a56d45]

ahhhhhhh ba voila je préfère cette definition !!
merci !