Base de $L^{2}(D)$

[invite412f80f3]

Bonjout tout le monde de ce Forum:
Je ne sais pas si quelqu'un peut me répondre à ma question: Je veux savoir si admet une base bien connue?
Où est le disque ûnité de .
Merci bien davantage pour l'aide
amicalement
Dhahri
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[invite10a6d253]

une base Hilbertienne ou une base au sens algébrique usuel ?
En pratique, on utilise plutôt la décomposition en série de Fourier sur chaque cercle intérieur au disque (on parle alors de séparation de variables).

[invite412f80f3]

Bonjour,
j'ai oublié d'ajouter que je cherche iune base hilbertienne de .
Merci bien de me faire la remarque edpiste

[invite10a6d253]

Si tu ne veux pas des séries de Fourier alors tu peux prendre par exemple l'ensemble des fonctions propres du Laplacien avec conditions de Dirichlet homogène au bord du disque.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite412f80f3]

Salut,
Merci bien edpiste pour ta réponse. Mais juste une dernière: Que veux tu dire par condition de Dirichlet homogène au bord du disque.
et qui affirme que les fonctions propres du laplacien avec de telles conditions au bord forment bien une base de
Merci bien encore une autre fois pôur l'aide
Amicalement
Dhahri

[invite10a6d253]

Salut,
Merci bien edpiste pour ta réponse. Mais juste une dernière: Que veux tu dire par condition de Dirichlet homogène au bord du disque.
et qui affirme que les fonctions propres du laplacien avec de telles conditions au bord forment bien une base de
Merci bien encore une autre fois pôur l'aide
Amicalement
Dhahri

ce sont les fonctions telles que

-laplacien u = lambda u dans l'intérieur du disque
u = 0 sur le bord du disque.

Le fait que ces fonctions forment une base de L^2 tient à la diagonalisation des opérateurs autoadjoints compacts, une théorie que je ne peux pas te résumer en trois mots.
Si le sujet t'intéresse, tout est dans le livre de mon vénéré maître "Analyse fonctionnelle" de H. Brezis.

[invite412f80f3]

Merci bien edpiste pour la réponse,
Je vais regarder le livre de Brezis "Analyse fonctionnelle'' et je te dirais ce que j'ai conclu.
Merci encore une autre fois
Amicalement
Dhahri