compact

[invite2c06a5d7]

Bonjour!
quelqu'un peut me démontrer que la sphère unité est compacte?
merci d'avance
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[invite986312212]

en dimension finie?

[invite2c06a5d7]

oui,en dimension finie

[inviteaeeb6d8b]

Tout dépend des théorèmes dont tu disposes

Théorème de Riesz :
en DF, les compacts sont les fermés bornés, et tu as terminé !

Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Je suppose que c'est la sphère unité d'un R-ev normé de dimension finie.
Comment sont caractérisés les compacts dans ce cas (2 conditions) ?
Chacune de ces deux conditions sont évidentes (rappel : toute norme est continue si on prend la topologie induite par cette norme).

[invite2c06a5d7]

les deux conditions sont fermés et bornés?

[invite35452583]

les deux conditions sont fermés et bornés?

Oui, et sont faciles à vérifier.

[inviteaeeb6d8b]

Remarque que peut-être ne "disposes"-tu pas encore du théorème de Riesz, et dans ce cas, tu dois revenir à la définition.
Tu peux aussi trouver une application continue qui envoie A (que tu sais être compact) sur la sphère unité de manière surjective.

[invite769a1844]

Remarque que peut-être ne "disposes"-tu pas encore du théorème de Riesz, et dans ce cas, tu dois revenir à la définition.
Tu peux aussi trouver une application continue qui envoie A (que tu sais être compact) sur la sphère unité de manière surjective.

Salut Romain,

ici c'est un peu violent d'utiliser le théorème de Riesz, même si on dispose de ce résultat, il vaut mieux le résoudre de façon plus élémentaire,

le théorème de Riesz c'est plus l'implication "si les fermés bornés d'un ev normé E sont compacts alors E est de dimension finie".