Serie de fractions

**SPH** · 26/04/2008, 03h56

Salut,

Comment savoir rapidement (donc, sans tout calculer) si une serie de fractions comme celle ci donne à un moment un nombre entier ?

(630-x)/(13x+1)
avec x de 1 à 630

ps : d'ailleur, mathematiquement, ca doit s'ecrire sous forme de fonction, non ?

**SPH** · 27/04/2008, 21h40

Il n'y a aucune facon de savoir si une suite de fraction "progressive" débouche sur un nombre entier ?

**SPH** · 08/05/2008, 11h47

Je relance ma question en esperant que quelqu'un m'indique s'il y a des solutions...

Grand merci

**erff** · 08/05/2008, 12h04

J'imagine que x est un entier...

On peut dégrossir le truc...mais bon, c'est pas non plus immédiat.

Déjà il faut que :

13x+1 < (630-x)/2 donc 13x+1 < 315 donc x <= 24

Après je pense qu'il faut essayer x=1,...,24 pour voir si on a des entiers...

Bon c'est surement pas la meilleure méthode...

PS : quand tu disais "série" tu parlais de la somme ???? (oupss) si c'est le cas mon post est inutile

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**God's Breath** · 08/05/2008, 12h26

Envoyé par erff

PS : quand tu disais "série" tu parlais de la somme ???? (oupss) si c'est le cas mon post est inutile

Qulle façon élégante de dire que la question posée est incompréhensible.

invitebb921944 · 08/05/2008, 12h58

Je penche pour la question :
existe t'il $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ (je sais pas le faire dans l'autre sens

) tel que $\text{[math]}$ est entier ?

Et en même temps le "à un moment un nombre entier" me fait douter.

invitec053041c · 08/05/2008, 13h21

Envoyé par Ganash

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ = \leq

**SPH** · 08/05/2008, 13h23

J'étudie ce genre de fraction : (630-x)/(13x+1)
avec x variant de 1 à 630 (car 630 est le premier nombre dans ma fraction).
Cela fait donc une serie de fractions :
(630-1)/(13*1+1)
(630-2)/(13*2+1)
(630-3)/(13*3+1)
(630-4)/(13*4+1)
(630-5)/(13*5+1)
...
Plusieurs personnes se posent des questions sur x : je repond que x est un entier (un nombre positif sans virgule quoi...)
Egalement, un seul résultat est necessaire; a savoir que la fraction donne un nombre lui aussi entier.

@Ganash : peux tu toujours me confirmer que ce que je recherche s'écrit bien de la facon dont tu l'as ecris ??

invitebb921944 · 08/05/2008, 13h37

Ah d'accord....
On dit "une suite de fraction plutôt qu'une série de fractions" car on associe plutot "série" à "somme".

**God's Breath** · 08/05/2008, 13h41

Envoyé par SPH

J'étudie ce genre de fraction : (630-x)/(13x+1)
avec x variant de 1 à 630 (car 630 est le premier nombre dans ma fraction).
Cela fait donc une serie de fractions :
(630-1)/(13*1+1)
(630-2)/(13*2+1)
(630-3)/(13*3+1)
(630-4)/(13*4+1)
(630-5)/(13*5+1)
...
Plusieurs personnes se posent des questions sur x : je repond que x est un entier (un nombre positif sans virgule quoi...)
Egalement, un seul résultat est necessaire; a savoir que la fraction donne un nombre lui aussi entier.

Si j'ai bien compris, on veut savoir si l'une des fractions $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ..., $\text{[math]}$ représente un entier, c'est-à-dire s'il existe un entier $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ .

Ganash envisage, comme le suggère l'utilisation du mot "série", les sommes de telles fractions, et c'est bien comme cela que je l'avais entendu initialement.

invitebb921944 · 08/05/2008, 13h43

On sait déjà que x est nécessairement pair.
En effet, s'il est impair, 630-x est impair et les diviseurs d'un nombre impair sont nécessairement des nombres impairs.
Or 13*(2p+1)+1=26p+14 est un nombre pair. Ta fraction ne peut donc pas être un entier.

**SPH** · 08/05/2008, 13h44

Envoyé par God's Breath

Si j'ai bien compris, on veut savoir si l'une des fractions $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ..., $\text{[math]}$ représente un entier, c'est-à-dire s'il existe un entier $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ .

Ganash envisage, comme le suggère l'utilisation du mot "série", les sommes de telles fractions, et c'est bien comme cela que je l'avais entendu initialement.

oublions les mots series et suites : Je cherche s'il existe au moins une fraction qui donne un resultat entier.

@Ganash : 13*(2p+1)+1=26p+14 !! pas "14" mais "1"

invitebb921944 · 08/05/2008, 13h47

On sait aussi comme l'a dit erff que $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ .

P.S. : 13+1 ca fait pas 14 ??? (j'ai posé x=2p+1 pour dire x impair)

**SPH** · 08/05/2008, 13h50

Envoyé par Ganash

On sait aussi comme l'a dit erff que $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ .

P.S. : 13+1 ca fait pas 14 ??? (j'ai posé x=2p+1 pour dire x impair)

(630-x) / (13x+1)
= (630-2p) / (13*2p + 1)

invitebb921944 · 08/05/2008, 13h52

Certes mais ce n'est pas ce que j'ai écrit.
Si x est impair, x=2p+1.
On a 630-x qui est impair et 13*x+1=13(2p+1)+1=26p+14 est pair.
Donc x =2p+1 est exclu et on en déduit x pair.

**God's Breath** · 08/05/2008, 14h01

Envoyé par SPH

Je cherche s'il existe au moins une fraction qui donne un resultat entier.

Une petite dose de théorème de Bezout assure que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ si, et seulement si, il divise $\text{[math]}$ .
Or $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ si, et seulement si, il divise $\text{[math]}$ qui est premier.
Les seules solutions sont donc les solutions triviales :
– $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ;
– $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**SPH** · 08/05/2008, 14h01

oops (effacé)

**God's Breath** · 08/05/2008, 14h09

Envoyé par God's Breath

Une petite dose de théorème de Bezout assure que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc ...

Il faut lire :
Une petite dose de théorème de Bezout assure que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont premiers entre eux, donc ...

**SPH** · 08/05/2008, 14h27

Merci GB

@Ganash

oui donc :
(630-x)/(13x+1) avec x=2p+1
(630-2p-1)/(26p+14)
(629-2p)/(26p+14)

Ca alors, c'est une tres bonne nouvelle pour moi.
Attend, j'essaye avec une fraction qui elle, aboutie à un entier :

(186 - x) / (11x + 1)
si x= 2p+1
(186 - 2p-1) / (22p+11 + 1)
(185 - 2p) / (22p + 12)

Il y a quelque chose qui me depasse la. Car pourtant :
(186 - x) / (11x + 1)
(186 - 2) / (11*2 + 1)
184/23 = 8

...ou est l'erreur ?

**God's Breath** · 08/05/2008, 14h43

Envoyé par SPH

Ca alors, c'est une tres bonne nouvelle pour moi.
Attend, j'essaye avec une fraction qui elle, aboutie à un entier :

(186 - x) / (11x + 1)

Même méthode : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ si, et seulement si, il divise $\text{[math]}$ .
Or $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est entier si, et seulement si, $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ qui est sont la décomposition en facteurs premiers est $\text{[math]}$ .
Les solutions sont donc :
– $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ;
– $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
– $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ;
– $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Envoyé par SPH

...ou est l'erreur ?

$\text{[math]}$ n'est pas impair de la forme $\text{[math]}$ ...

invitebb921944 · 08/05/2008, 14h43

C'est une blague ou pas ?

L'erreur, c'est que tu montres que x ne peut pas être impair et après, tu essaies d'exhiber un contre-exemple en remplaçant x par 2...

invitebb921944 · 08/05/2008, 14h55

J'ai bien compris ta méthode God's Breath mais je ne vois pas ce qui peut motiver un mathématicien à partir dans cette direction. En gros j'ai l'impression que ca simplifie tout, je comprends chaque argument mais je ne vois pas globalement en quoi ca simplifie le problème. C'est pas clair mais en gros ca veut dire "comment avoir l'idée de faire tout cela ?".

**SPH** · 08/05/2008, 14h57

Merci

@GB : effectivement, ta methode risque de me faire partir dans les grands nombres. Je préfère la direction inverse (si il y en a une..)

@Ganash :
non ce n'est pas une blague. Il y a quelque chose qui m'a totalement echappé au fil des posts...
Attend que je relise tout...

invitebb921944 · 08/05/2008, 15h01

God's Breath, comment t'y prends tu si on a 11x+2 au lieu de 11x+1 ?
Je ne critique pas du tout la méthode de God's Breath qui est très jolie, j'essaie juste de comprendre comment avoir l'idée de faire tout cela à partir de l'énoncé.
SPH, tu devrais te familiariser avec sa méthode qui est sans aucun doute la plus rapide et la moins calculatoire !

**SPH** · 08/05/2008, 15h22

Envoyé par Ganash

God's Breath, comment t'y prends tu si on a 11x+2 au lieu de 11x+1 ?
Je ne critique pas du tout la méthode de God's Breath qui est très jolie, j'essaie juste de comprendre comment avoir l'idée de faire tout cela à partir de l'énoncé.
SPH, tu devrais te familiariser avec sa méthode qui est sans aucun doute la plus rapide et la moins calculatoire !

Je ne crois pas car si je lui demande :

(13396943579564506435565929426 44756738-x) / (127x + 1)

il ne saura pas (a moins qu'il ai trouvé pourquoi ce si grand nombre !)

Et si je prend celui la :
805461877566685196693337792733 731833825983486332376211700263 982473963379753143805055023964 926330380499069615299139552929 566955266517895608984699128372 744924815252173089575236300753 220970329071388264058722808815 196691360176431243988242808233 839764233288889743242726366541 575217475359127980722226388834 549411494895682428623673673316 420115226713966387592840095275 974285645260614255111311129935 994727105613621756351793570472 471254488452325572113241340107 730175017848885661330793946855 796411028204780765775012982416 682214433072186944667855126054 679022766728377539582501739558 786527022201932613812059110514 225773107669464071998948565544 758759386383677945859753254152 481818271472923283375401262488 353283962614536133774873555917 467849324528585878533452978180 926761884013234394509870265997 663597672132521236637011397727 958506992396493278798923376588 143423620126202811113556693441 478583793169004069667859340806 915704980531999812337141703258 364124405447291535735656441911 43710

invitebe13a34d · 08/05/2008, 15h24

Salut,

Je crois que dans le cas générale que ça soit pour la suite ou la série, il faut faire un programme qui se chargera de trouver les indices des solutions.

pour la suite $\text{[math]}$ par exemple en C:

include <cstdlib>
#include <iostream>
#include<math.h>

main()
{
int n,p;
float f;
for(n=1;n<=630;n=n+1)
{
f=(44-2*n)*pow(3*n-2,-1);
p=f;
if(f-p==0)
printf("\nindice: %d",n);
}
getchar();

}
ca donne

indice: 1
indice: 2
indice: 6
indice: 22

**Médiat** · 08/05/2008, 15h28

Envoyé par Ganash

God's Breath, comment t'y prends tu si on a 11x+2 au lieu de 11x+1 ?

Je n'ai pas la prétention de répondre à la place de God's Breath, mais j'ai ma petite idée : c'est pareil :

11(186 -x) = 2046 -11x = 2048 - (11x + 2) etc.
L'idée c'est de faire apparaître le bidule par lequel on divise, et cela marche car ici 11 et 11x + 2 sont premiers entre eux (dans le cas contraire, il faudrait faire un petit pré-traitement).

Et la méthode marche avec l'exemple (13396943579564506435565929426 44756738-x) / (127x + 1), ou même pour le plus grand, il suffit d'avoir assez de doigts pour compter et de savoir décomposer en produit de facteur sans être pris par le temps.

**SPH** · 08/05/2008, 15h28

Envoyé par Fujiama

Salut,

Je crois que dans le cas générale que ça soit pour la suite ou la série, il faut faire un programme qui se chargera de trouver les indices des solutions.

pour la suite $\text{[math]}$ par exemple en C:

}
ca donne

S'il te plait, peux tu detailler d'où viens ton 44 et autre 2n et 3n ?

**God's Breath** · 08/05/2008, 16h07

Envoyé par Médiat

Je n'ai pas la prétention de répondre à la place de God's Breath, mais j'ai ma petite idée : c'est pareil.

Et la méthode marche avec l'exemple (13396943579564506435565929426 44756738-x) / (127x + 1), ou même pour le plus grand, il suffit d'avoir assez de doigts pour compter et de savoir décomposer en produit de facteur sans être pris par le temps.

C'est tout à fait cela.
Il est curieux de voir comment ce fil s'est développé depuis que l'on a compris quel était le sens de la question initiale ; c'est une question d'arithmétique bête : pour quelles valeurs de $\text{[math]}$ (entières) $\text{[math]}$ divise-t-il $\text{[math]}$ .
L'idée est de faire la division euclienne du numérateur par le dénominateur, considérés comme des polynômes en $\text{[math]}$ . Comme le diviseur est de degré 1, le reste est constant : $\text{[math]}$ .
Mais cette division peut avoir lieu dans $\text{[math]}$ , et non dans $\text{[math]}$ , ce qui la rend inexploitable.
Il faut donc se débrouiller pour que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ , le plus simple étant de multiplier par $\text{[math]}$ ; la division de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ a bien lieu dans $\text{[math]}$ sous la forme
$\text{[math]}$ et la condition $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ si, et seulement si, il divise $\text{[math]}$ qui ramène à la recherche des diviseurs de $\text{[math]}$ , certes fastidieuse si ce nombre est immense, mais je ne pense pas que toute méthodes nécessitera la manipulation des nombres immenses fournis dans les données...

Le problème est de passer de $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ si, et seulement si, il divise $\text{[math]}$ . La pratique arithmétique fournit un critère fort intéressant par le théorème de Gauss : la bonne condition est d'avoir $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ premiers entre eux. Or l'algorithme d'Euclide montre que le pgcd de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est également celui de $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ : dès que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont premiers entre eux, on a le résultat (théorique) voulu :
$\text{[math]}$ est entier si, et seulement si, $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ . Toute méthode de résolution effective fournira une factorisation de $\text{[math]}$ , donc aura même complexité que l'obtention de cette factorisation.

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas premiers entre eux, soit $\text{[math]}$ leur pgce, on a $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ premiers entre eux, et l'on veut que $\text{[math]}$ soit entier.
Une première condition est que $\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$ , ce qui revient à résoudre $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , et restreint les valeurs possibles de $\text{[math]}$ . Pour les telles formes de $\text{[math]}$ , on simplifie la fraction par $\text{[math]}$ , et on est ramené au problème : pour quelles valeurs de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est-il entier, avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ premiers entre eux.. et on sait le résoudre.

invitebb921944 · 08/05/2008, 16h15

A vrai dire ce qui me posait problème, c'est :
comment déterminer les coefficients de bezout pour montrer que 11x+2 et 11 sont bien premiers entre eux ?

11a+(11x+2)b=1

Pour que le terme en x s'annule, on a nécessairement a=-bx et donc b=1/2 non ?

Serie de fractions

Serie de fractions

Re : Serie de fractions

Re : Serie de fractions

Re : Serie de fractions

Re : Serie de fractions

Re : Serie de fractions

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Re : Serie de fractions

Re : Serie de fractions

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