Modules, anneaux et récurrence

[invitebb921944]

Bonjour,

Ca fait trois jours que je m'arrache les cheveux sur un tout petit passage dans une démonstration et je n'avance pas. Je vous écris le passage qui me pose problème dans sa forme originale et ce que j'en ai compris ensuite...
est un -module irréductible mais peut-être vu comme un espace vectoriel et, dans cette optique, est un sous-espace vectoriel de (sur le corps )


We now propose to prove that given of finite dimension over and , then there exists an such that but (on pourra déjà remarquer qu'il y a ici confusion entre élément et ensemble). We proceed by induction on the dimension of over .
Now where dimdim and where . By our induction, if then for there is an such that . Otherwise put, if then (la contraposée si je ne m'abuse...).
is a right ideal of (je me demande encore en quoi ça nous interesse); since , , hence, as a submodule of , (là on utilise implicitement l'irréductibilité de ).
Suppose that , enjoys the property that whenever then .
Puis ils montrent que c'est absurde et terminent la démonstration là-dessus.

Bon déjà si j'ai bien compris c'est une récurrence sur dimV. Ok mais j'ai cherché longtemps l'initialisation de la récurrence, je ne l'ai jamais trouvée (disons qu'ils l'ont laissée au lecteur).
On suppose donc la propriété vraie pour et on veut montrer qu'elle l'est pour .
En premier lieu ils retraduisent l'hypothèse de récurrence :
Si alors .
On montre ensuite que mais il me semble que cela ne sert pas pour ce que je ne comprends pas (on s'en sert après pour dire qu'un élément de s'écrit ). Au passage, je ne vois pas du tout l'interet de préciser que c'est un idéal à droite mais peut-être cela intervient-il dans la suite.

Bon maintenant, soit , . On suppose que quelque soit dans (c'est comme ça que je traduis le whenever), si alors ma=0. On veut montrer que c'est absurde.
Or montrer que c'est absurde, ca revient à montrer que s'il existe des tels que (pour tout i), alors on peut au moins en trouver un (disons ) tel que .
Bon alors ça se rapproche du résultat mais on ne montre en aucun cas qu'il existe des éléments non nuls tels que .

Merci pour votre aide.
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[invited749d0b6]

Pour initialiser la récurrence, on a lors V=(0) et donc on peut prendre si il y a une unité.

est-il le corps des fractions de A. Est-on sur un anneau commutatif ?

[invitebb921944]

Ah d'accord je pensais qu'on initialisait à dim(V)=1 mais c'est vrai qu'il n'y a pas de raison a priori.
A est un anneau primitif, c'est à dire un anneau sur lequel il existe au moins un module fidèle (Ma=(0) implique a=0) et irréductible (MA(0) et les seuls sous-modules de M sont {0} et M). Cela dit tout cela n'est pas très important, la seule chose qui compte est que A n'est pas commutatif. Pour l'élément unité a priori il n'en a pas mais je dois pouvoir me débrouiller pour en trouver un autre qui marche (ou montrer que "primitif" implique "A a un élément unité"). Au passage, M est un A-module à droite mais on dit A-module pour ne pas surcharger.
est l'anneau commutant de A sur M (i.e. l'ensemble des endomorphismes de M qui commutent avec tous les autres), il se trouve que c'est un corps gauche lorsque A est primitif et on peut alors donner une structure de -espace vectoriel à droite (ou à gauche selon comment on a construit la théorie, dans mon cas c'est à droite) à M.
L'action de A sur M (car M est un A-module) peut alors se voir comme un endomorphisme de l'espace vectoriel M.

Pour ceux qui seraient curieux, on construit tout ça pour démontrer le théorème de Jacobson qui dit : si A est un anneau pour lequel chaque élément a vérifie (n(a) entier naturel dépendant de l'élément a), alors A est commutatif.

Bon c'est un peu compliqué pour se familiariser avec tout ça mais je ne pense pas que ce soit très important à la résolution de mon problème. Je pense juste que mon souci est une question de logique... Cela dit je me trompe peut-être mais y'a aussi quelques erreurs et SURTOUT beaucoup de raccourcis laissés à la divination du lecteur.

Merci pour ton aide en tout cas !

[invitebb921944]

Un petit up au cas ou un spécialiste passerait par là

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