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Theoreme de wilson



  1. #1
    g_h

    Theoreme de wilson


    ------

    Rebonsoir

    Mon problème de ce soir est la démonstration du théoreme de Wilson
    petit rappel :

    Si p est premier, alors
    p divise (p-1)! + 1

    Soit p un nombre premier.
    J'ai un ensemble I défini par :
    I = {2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., p-3, p-2}

    Soit e appartenant à I.

    J'ai déja prouvé que :
    - le reste de la division de e par p est e (facile me direz vous)
    - le reste de la division de e exposant (p-2) par p appartient à I

    Il faudrait maintenant que je démontre qu'il existe f appartenant à I tel que e*f soit congru à 1 modulo p...

    En donnant des valeurs à p et en faisant un graphique, j'arrive à une symétrie entre la "partie gauche" et la "partie droite" de I, mais impossible de retomber sur l'équation de congruence, car je n'arrive pas à exprimer f en fonction de e.

    Je suis preneur pour tout indice qui me sortirait de cette impasse...

    Merci de votre aide !

    -----

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  3. #2
    g_h

    Re : Theoreme de wilson

    D'ailleurs, si j'ai bien compris, f est l'inverse de e modulo p, ce qui explique pourquoi je ne peux pas l'exprimer.
    Bref, je cale !

  4. #3
    BS

    Re : Theoreme de wilson

    Dans ce genre de problème, il est parfois bon de reformuler. En fait tu cherches f tel qu'il existe un entier k tel que ef+kp=1, ça ne te rapelle rien ?

  5. #4
    g_h

    Re : Theoreme de wilson

    Exact...
    Ca me rappelle bien le théorême de Bézout...

    Il me faut donc e premier avec k, et f premier avec k (vu qu'avec p c'est déjà assuré)
    Mais franchement je vois pas trop, d'autant plus qu'il y a la condition e et f apartiennent à I

  6. #5
    BS

    Re : Theoreme de wilson

    Je te rappelle que e est fixé, donc tu n'as pas à te soucier de son appartenance à I. De plus dans l'équation de Bezout les termes connus sont e et p, tu cherches donc les solutions (f,k). La condition de primalité pour appliquer le thm se vérifie donc entre e et p (les quantités connus). Ensuite comme tout se fait modulo p, une fois trouvé f, il ne coûte pas grand chose de trouver une solution pour f entre 0 et p-1. Il reste juste à vérifier que ça ne peut pas être p-1...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    monnoliv

    Re : Theoreme de wilson

    Ca me rappelle bien le théorême de Bézout...
    Si je puis me permettre, le théorème dit de Bézout est en fait du à Bachet (Bachet de Méziriac). Si ça peut t'aider à comprendre la démonstration...
    Ne soldez pas grand mère, elle brosse encore.

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  10. #7
    g_h

    Re : Theoreme de wilson

    Ok !

    donc

    ef + kp = 1
    D'après Bézout, f et k existent.
    On trouve f' et k' solutions de l'équation (f' n'appartenant pas forcément à I, on est bien d'accord ?)

    soit f'' le reste de la division euclidienne de f' par p

    Comme ef' congru à 1 modulo p, alors ef'' congru à 1 modulo p

    Mais reste à prouver que f'' est différent de 0, de 1 et de p-1
    on a déjà
    f'' != 0
    f'' != 1
    car ef'' n'est pas congru à 0 ni à e modulo p

    Voyons pour p-1...
    si f'' = p-1
    alors ef'' est congru à ep-e modulo p
    donc congru à p-e, et comme p-e != 1, c'est contradictoire, donc f'' appartient à I

    J'ai bon ? (merci mille fois pour ton aide)

  11. #8
    g_h

    Re : Theoreme de wilson

    Citation Envoyé par monnoliv
    Si je puis me permettre, le théorème dit de Bézout est en fait du à Bachet (Bachet de Méziriac). Si ça peut t'aider à comprendre la démonstration...
    Merci pour l'info

  12. #9
    g_h

    Re : Theoreme de wilson

    (ya pas de bouton éditer ici ?)
    EDIT : pourquoi j'ai un bouton editer sur ce post et pas sur les précédents ?

    Fallait aussi que je prouve que f'' != e
    Donc
    Si f'' = e
    alors il existe k tel que
    e² = kp+1, et ceci ssi
    kp = e²-1
    ssi kp = (e+1)(e-1)
    ssi p = e+1 ou p = e-1 car p est premier
    Or ceci est impossible, car e € I
    donc f'' != e

  13. #10
    BS

    Re : Theoreme de wilson

    Oui c'est tout à fait ça. Je ne sais pas en quel niveau tu es mais tu pouvais aussi raisonner dans Z/pZ si tu as déjà vu...

  14. #11
    g_h

    Re : Theoreme de wilson

    Je suis en terminale S ... cette notation ne m'est pas étrangère, mais je ne l'ai pas étudiée en cours.

    Merci encore

  15. #12
    K2R RiDdiM

    Re : Theoreme de wilson

    confirmation : avec l'anneau Z/pZ ca roule tout seul . (heu c'est même un corps ( fini )parceque p est premier dc le produit de ses éléments vaut -1 : ) )
    1+1 = 0 vive les caractéristiques 2 : )

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