Theoreme de wilson

[invite97a92052]

Rebonsoir

Mon problème de ce soir est la démonstration du théoreme de Wilson
petit rappel :

Si p est premier, alors
p divise (p-1)! + 1

Soit p un nombre premier.
J'ai un ensemble I défini par :
I = {2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., p-3, p-2}

Soit e appartenant à I.

J'ai déja prouvé que :
- le reste de la division de e par p est e (facile me direz vous)
- le reste de la division de e exposant (p-2) par p appartient à I

Il faudrait maintenant que je démontre qu'il existe f appartenant à I tel que e*f soit congru à 1 modulo p...

En donnant des valeurs à p et en faisant un graphique, j'arrive à une symétrie entre la "partie gauche" et la "partie droite" de I, mais impossible de retomber sur l'équation de congruence, car je n'arrive pas à exprimer f en fonction de e.

Je suis preneur pour tout indice qui me sortirait de cette impasse...

Merci de votre aide !
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[invite97a92052]

D'ailleurs, si j'ai bien compris, f est l'inverse de e modulo p, ce qui explique pourquoi je ne peux pas l'exprimer.
Bref, je cale !

[invite8f53295a]

Dans ce genre de problème, il est parfois bon de reformuler. En fait tu cherches f tel qu'il existe un entier k tel que ef+kp=1, ça ne te rapelle rien ?

[invite97a92052]

Exact...
Ca me rappelle bien le théorême de Bézout...

Il me faut donc e premier avec k, et f premier avec k (vu qu'avec p c'est déjà assuré)
Mais franchement je vois pas trop, d'autant plus qu'il y a la condition e et f apartiennent à I

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f53295a]

Je te rappelle que e est fixé, donc tu n'as pas à te soucier de son appartenance à I. De plus dans l'équation de Bezout les termes connus sont e et p, tu cherches donc les solutions (f,k). La condition de primalité pour appliquer le thm se vérifie donc entre e et p (les quantités connus). Ensuite comme tout se fait modulo p, une fois trouvé f, il ne coûte pas grand chose de trouver une solution pour f entre 0 et p-1. Il reste juste à vérifier que ça ne peut pas être p-1...

[monnoliv]

Ca me rappelle bien le théorême de Bézout...

Si je puis me permettre, le théorème dit de Bézout est en fait du à Bachet (Bachet de Méziriac). Si ça peut t'aider à comprendre la démonstration...

[invite97a92052]

Ok !

donc

ef + kp = 1
D'après Bézout, f et k existent.
On trouve f' et k' solutions de l'équation (f' n'appartenant pas forcément à I, on est bien d'accord ?)

soit f'' le reste de la division euclidienne de f' par p

Comme ef' congru à 1 modulo p, alors ef'' congru à 1 modulo p

Mais reste à prouver que f'' est différent de 0, de 1 et de p-1
on a déjà
f'' != 0
f'' != 1
car ef'' n'est pas congru à 0 ni à e modulo p

Voyons pour p-1...
si f'' = p-1
alors ef'' est congru à ep-e modulo p
donc congru à p-e, et comme p-e != 1, c'est contradictoire, donc f'' appartient à I

J'ai bon ? (merci mille fois pour ton aide)

[invite97a92052]

Si je puis me permettre, le théorème dit de Bézout est en fait du à Bachet (Bachet de Méziriac). Si ça peut t'aider à comprendre la démonstration...

Merci pour l'info

[invite97a92052]

(ya pas de bouton éditer ici ?)
EDIT : pourquoi j'ai un bouton editer sur ce post et pas sur les précédents ?

Fallait aussi que je prouve que f'' != e
Donc
Si f'' = e
alors il existe k tel que
e² = kp+1, et ceci ssi
kp = e²-1
ssi kp = (e+1)(e-1)
ssi p = e+1 ou p = e-1 car p est premier
Or ceci est impossible, car e € I
donc f'' != e

[invite8f53295a]

Oui c'est tout à fait ça. Je ne sais pas en quel niveau tu es mais tu pouvais aussi raisonner dans Z/pZ si tu as déjà vu...

[invite97a92052]

Je suis en terminale S ... cette notation ne m'est pas étrangère, mais je ne l'ai pas étudiée en cours.

Merci encore

[invitea48de938]

confirmation : avec l'anneau Z/pZ ca roule tout seul . (heu c'est même un corps ( fini )parceque p est premier dc le produit de ses éléments vaut -1 : ) )