Les casses têtes

[invited463dfc6]

Bonjour,
Je suis nuveau sur le Forum et je cherche à me casser vraiment la tête sur des exercices genre olympiades.
Je vous propose ici de participer à la collection des exercices astucieux.

Je commence:

Soit un ensemble de n entiers E={a₁,a₂,.....,a_n}
Montrer qu'il existe au moins un sous ensemble de E dont la somme des éléments est divisible par n.
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[invited463dfc6]

En voilà un deuxième:

On considère 13 nombres réels.
Montrer qu'il existe au moins 2 parmis eux a et b qui vérifient:

0<(a-b)/(1+ab)<= 2-Racine(3)

[invitebe13a34d]

Salut,

Montrer en utilisant , , et la décompositions en éléments simples que .

[erff]

On considère 13 nombres réels.
Montrer qu'il existe au moins 2 parmis eux a et b qui vérifient:

0<(a-b)/(1+ab)<= 2-Racine(3)

 Cliquez pour afficher

Soit il existe 2 réels égaux et le problème est résolu.

Sinon :
Soit x et y les uniques réels de ]-Pi/2,Pi/2[ tels que a=tan(x) et b=tan(y)
Alors (a-b)/(1+ab)=tan(x-y)
On subdivise ]-Pi/2,Pi/2[ en 12 sous intervalle de largeur Pi/12 et par principe des tiroirs on est sur de trouver deux reels x' et y' dans un intervalle de largeur Pi/12 donc, quitte à changer les rôles de x' et y', on est sur que x'-y' est dans ]0;Pi/12[
tan est croissante, et tan(Pi/12)=2-Racine(3) ce qui prouve l'inégalité.

Je t'en propose un d'arithmétique (peut être traité par un lycéen un peu courageux je pense) :

Résoudre dans IN^3 le système :

[A voir en vidéo sur Futura]

[MMu]

Bonjour,

Soit un ensemble de n entiers E={a₁,a₂,.....,a_n}
Montrer qu'il existe au moins un sous ensemble de E dont la somme des éléments est divisible par n.

..

 Cliquez pour afficher

On considère
Si tous les sont différents alors il existe un , sinon il existe tels que donc .

[MMu]

Et voilà une autre : résoudre (réels positifs) le système à deux équations et inconnues :

[invitec053041c]

Et voilà une autre : résoudre (réels positifs) le système à deux équations et inconnues :

On doit trouver toutes les solutions ?

 Cliquez pour afficher

Sinon x1=...=xn=1 conviennent.

[MMu]

On doit trouver toutes les solutions ?

 Cliquez pour afficher

Sinon x1=...=xn=1 conviennent.

Evidemment ..

[invitec053041c]

Evidemment ..

Evidemment il faut trouver toutes les solutions, ou évidemment c'est la seule solution ?

[MMu]

Evidemment il faut trouver toutes les solutions, ou évidemment c'est la seule solution ?

Evidemment il faut trouver toutes les solutions (ou encore démontrer que c'est la seule solution) !!

[invite74a6a825]

Soit un ensemble de n entiers E={a₁,a₂,.....,a_n}
Montrer qu'il existe au moins un sous ensemble de E dont la somme des éléments est divisible par n.

Si on montre qu'il existe un ensemble € qui ne contient pas un sous ensemble dont la somme des éléments est divisible par n on gagne aussi ?

[invite74a6a825]

En voilà un deuxième:

On considère 13 nombres réels.
Montrer qu'il existe au moins 2 parmis eux a et b qui vérifient:

0<(a-b)/(1+ab)<= 2-Racine(3)

0< (a-b)/(1+ab) <= 2-Racine(3)

Je me suis trompé

[invite2220c077]

Et voilà une autre : résoudre (réels positifs) le système à deux équations et inconnues :

D'après l'inégalité arithmético-géométrique :



d'où .

Supposons alors :. On obtient une contradiction, d'où

[invite2220c077]

Non en fait ma solution n'est pas complète car l'inégalité n'implique pas forcément qu'ils soient tous compris entre 0 et 1, je vais voir comment faire lorsqu'au moins une des inconnues est > 1.

[invite74a6a825]

Bonjour,

Je ne trouve pas d'explication au fait que zéta(-2)=0
Alors que normalement il est égal à + infinis

[breukin]

Zeta(–2)=0 par prolongement analytique et sûrement pas en utilisant une formule sommatoire dans un domaine où elle est divergente.
En fait, il existe une représentation intégrale, définie dans tout C sauf 1, et qui coïncide avec la série si Re >1. C'est le prolongement, et cette intégrale vaut 0 en –2.

[invite74a6a825]

qui coïncide avec la série si Re >1

C'est ce point que je n'arrive pas à comprendre

Re ?

il existe une représentation intégrale, définie dans tout C sauf 1

C'est cette intégrale ?

[invite74a6a825]

J'ai trouvé une autre intégrale défini sur tout C sauf 1



Dans ces 2 intégrales je ne comprent pas ce qu'est

[breukin]

u est un nombre complexe qui "parcourre" le contour C, qui part de l'infini positif au dessus de l'axe réel, contourne 0 dans le sens positif, suffisament proche pour n'englober aucun autre 2.k.pi.i, et revient vers l'infini positif au dessous de l'axe réel.
Donc du est élement d'arc du contour.

[breukin]

En fait, l'intégrale est définie partout, mais c'est le gamma qui fait que la formule diverge en 1. Pour les autres entiers positifs, le gamma diverge, mais l'intégrale est nulle et le produit converge vers une valeur.