problème de limite

[matthieu2]

Bonjour a toutes et a tous

Je n'arrive pas a calculer cette limite:
lim [(x²-x)*ln(x²/(x²+x+1))+x]
x->+inf

A l'aide d'une calculette scientifique qui me permet de calculer les limites, j'ai trouvé 1/2 et je n'arrive pas a retrouver ce résultat en le démontrant.

Voici comment je procède:
J'ai d'abord pris le ln où j'ai regardé les termes de plus haut degrés ce qui fait ln(x²/x²)=ln(1)=0 ce qui fait qu'il ne me reste plus que lim(x)=+inf mais je doit me tromper quelque part.

Merci d'avance pour l'aide
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[God's Breath]

Je n'arrive pas a calculer cette limite:
lim [(x2-x)*ln(x2/(x2+x+1))+x]
x->+inf

Il suffit d'écrire et d'utiliser le développement limité de

[matthieu2]

merci de ton aide, cependant je doit bien faire le DL au voisinage de +inf car ma limite est en +inf ?

Si c'est le cas on ne m'a appris que les DL au voisinage de 0. Comment je peut passer de l'un à l'autre?

[Calvert]

Tu peux poser y = 1/x, et la limite passe en zéro au lieu de l'infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthieu2]

certes mais dans ce cas:

-ln[1+1/x+1/x²] devient en posant y=1/x,

-ln[1+y+y²] => DL au voisinage de 0 à l'ordre 1 => -y-y²

Or y=1/x, d'où DL=-1/x-1/x²

En remplaçant dans mon expression de départ:
lim[(x²-x)*(-1/x-1/x²)+x]=lim[-x-1+1+1/x+x]=lim[1/x] si x->+inf ma limite tend vers 0 !!!!!!!!

[God's Breath]

-ln[1+y+y2] => DL au voisinage de 0 à l'ordre 1 => -y-y2

NON, le DL au premier ordre est .
Tu dois pousser ton DL au second ordre.

[matthieu2]

oO

on a -ln[1+y+y²] or la formule pour le DL est ln[1+u] donc on pose u=y+y² c'est pourquoi je ne comprend pas don DL (si tu peut m'expliquer?) mais je me suis appuyer dessus et j'ai continué:

DL[-ln(1+y+y²)]=-(y-y²/2)
Or y=1/x
d'où DL=-1/x+1/2x²

Ainsi je remplace:
(x²-x)(-1/x+1/2x²)+x=-x+1/2+1-1/2x+x=1/2+1-1/2x
Si x->+inf => 1/2+1=3/2 (on s'en rapproche mais je fait encore des boulettes^^)


PS: tu fais comment pour l'éditeur d'équation?

[God's Breath]

Le DL au premier ordre est donc, avec ,
;
le DL au second ordre est , d'où
.

[matthieu2]

humm. Ok je suis d'accord avec toi. Dans ce cas j'ai replaçer comme il le fallait dans l'équation de départ mais encore une fois je ne tombe pas sur le bon résultat!!!!

[God's Breath]

[/QUOTE]

[matthieu2]

[/QUOTE]

Premièrement je suis pas d'accord avec la première ligne au niveau du signe.
je rappèle que DL{ln(1+x)}=x-x²/2 (or avec ce qu'on a dit tout a l'heure avec le -ln(...), il faut placer un signe - devant le DL d'où => -x+x²/2

deuxièmement tu passe d'un o(1/x²) a un o(1) mais je ne comprend pas comment.


(Désolé j'ai un peu de mal!)

[God's Breath]

M'enfin !!!

[matthieu2]

ok, je te remercie beaucoup de ton aide et de ta patience^^

[matthieu2]

seconde petite question (ca devrai permettre de voir si j'ai bien compris)

on a toujours:
g(x)=(x²-x)*ln(x²/(x²+x+1))

On me demande SI:
g(x)=-x+1/2+1/6x+o(x)/x² Quand x tend vers +inf

La réponse est bien NON ?

[God's Breath]

g(x)=(x2-x)*ln(x2/(x2+x+1))

On me demande SI:
g(x)=-x+1/2+1/6x+o(x)/x2 Quand x tend vers +inf

La réponse est bien NON ?

Effectivement, le résultat proposé est faux.

[matthieu2]

ok. Je vous remercie tous pour m'avoir répondu rapidement.