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problème de limite



  1. #1
    matthieu2

    problème de limite

    Bonjour a toutes et a tous

    Je n'arrive pas a calculer cette limite:
    lim [(x²-x)*ln(x²/(x²+x+1))+x]
    x->+inf

    A l'aide d'une calculette scientifique qui me permet de calculer les limites, j'ai trouvé 1/2 et je n'arrive pas a retrouver ce résultat en le démontrant.

    Voici comment je procède:
    J'ai d'abord pris le ln où j'ai regardé les termes de plus haut degrés ce qui fait ln(x²/x²)=ln(1)=0 ce qui fait qu'il ne me reste plus que lim(x)=+inf mais je doit me tromper quelque part.

    Merci d'avance pour l'aide

    -----


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  3. #2
    God's Breath

    Re : problème de limite

    Citation Envoyé par matthieu2 Voir le message
    Je n'arrive pas a calculer cette limite:
    lim [(x2-x)*ln(x2/(x2+x+1))+x]
    x->+inf
    Il suffit d'écrire et d'utiliser le développement limité de

  4. #3
    matthieu2

    Re : problème de limite

    merci de ton aide, cependant je doit bien faire le DL au voisinage de +inf car ma limite est en +inf ?

    Si c'est le cas on ne m'a appris que les DL au voisinage de 0. Comment je peut passer de l'un à l'autre?

  5. #4
    Calvert

    Re : problème de limite

    Tu peux poser y = 1/x, et la limite passe en zéro au lieu de l'infini.

  6. #5
    matthieu2

    Re : problème de limite

    certes mais dans ce cas:

    -ln[1+1/x+1/x²] devient en posant y=1/x,

    -ln[1+y+y²] => DL au voisinage de 0 à l'ordre 1 => -y-y²

    Or y=1/x, d'où DL=-1/x-1/x²

    En remplaçant dans mon expression de départ:
    lim[(x²-x)*(-1/x-1/x²)+x]=lim[-x-1+1+1/x+x]=lim[1/x] si x->+inf ma limite tend vers 0 !!!!!!!!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    God's Breath

    Re : problème de limite

    Citation Envoyé par matthieu2 Voir le message
    -ln[1+y+y2] => DL au voisinage de 0 à l'ordre 1 => -y-y2
    NON, le DL au premier ordre est .
    Tu dois pousser ton DL au second ordre.

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  10. #7
    matthieu2

    Re : problème de limite

    oO

    on a -ln[1+y+y²] or la formule pour le DL est ln[1+u] donc on pose u=y+y² c'est pourquoi je ne comprend pas don DL (si tu peut m'expliquer?) mais je me suis appuyer dessus et j'ai continué:

    DL[-ln(1+y+y²)]=-(y-y²/2)
    Or y=1/x
    d'où DL=-1/x+1/2x²

    Ainsi je remplace:
    (x²-x)(-1/x+1/2x²)+x=-x+1/2+1-1/2x+x=1/2+1-1/2x
    Si x->+inf => 1/2+1=3/2 (on s'en rapproche mais je fait encore des boulettes^^)


    PS: tu fais comment pour l'éditeur d'équation?

  11. #8
    God's Breath

    Re : problème de limite

    Le DL au premier ordre est donc, avec ,
    ;
    le DL au second ordre est , d'où
    .

  12. #9
    matthieu2

    Re : problème de limite

    humm. Ok je suis d'accord avec toi. Dans ce cas j'ai replaçer comme il le fallait dans l'équation de départ mais encore une fois je ne tombe pas sur le bon résultat!!!!

  13. #10
    God's Breath

    Re : problème de limite

    [/QUOTE]




  14. #11
    matthieu2

    Re : problème de limite

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message


    [/QUOTE]

    Premièrement je suis pas d'accord avec la première ligne au niveau du signe.
    je rappèle que DL{ln(1+x)}=x-x²/2 (or avec ce qu'on a dit tout a l'heure avec le -ln(...), il faut placer un signe - devant le DL d'où => -x+x²/2

    deuxièmement tu passe d'un o(1/x²) a un o(1) mais je ne comprend pas comment.


    (Désolé j'ai un peu de mal!)

  15. #12
    God's Breath

    Re : problème de limite

    M'enfin !!!



















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  17. #13
    matthieu2

    Re : problème de limite

    ok, je te remercie beaucoup de ton aide et de ta patience^^

  18. #14
    matthieu2

    Re : problème de limite

    seconde petite question (ca devrai permettre de voir si j'ai bien compris)

    on a toujours:
    g(x)=(x²-x)*ln(x²/(x²+x+1))

    On me demande SI:
    g(x)=-x+1/2+1/6x+o(x)/x² Quand x tend vers +inf

    La réponse est bien NON ?

  19. #15
    God's Breath

    Re : problème de limite

    Citation Envoyé par matthieu2 Voir le message
    g(x)=(x2-x)*ln(x2/(x2+x+1))

    On me demande SI:
    g(x)=-x+1/2+1/6x+o(x)/x2 Quand x tend vers +inf

    La réponse est bien NON ?
    Effectivement, le résultat proposé est faux.

  20. #16
    matthieu2

    Re : problème de limite

    ok. Je vous remercie tous pour m'avoir répondu rapidement.

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