Produit de Convolution

[james_83]

Bonsoir tlm,

J'ai un problème, on me demande le produit de convolution de la transformée de Fourier de f par la transformée de Fourier de g où
f(x) = (x^n)*exp(-alpha*x) alpha, bêta >0
g(x) =(x^m)*exp(-bêta*x) n, m appartiennent à N
J'ai donc calculé la transformée de Fourier de f (et donc déduit celle de g !).
J'aimerais dire que le produit de convolution est égal au produit des transformées de Fourier mais pour cela, d'après mon cours, il faut que f et g soient dans L1, ce que je n'arrive à démontrer....

Voilà, merci
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[God's Breath]

Bonjour,

J'ai un problème, on me demande le produit de convolution de la transformée de Fourier de f par la transformée de Fourier de g où
f(x) = (x^n)*exp(-alpha*x) alpha, bêta >0
g(x) =(x^m)*exp(-bêta*x) n, m appartiennent à N
J'ai donc calculé la transformée de Fourier de f (et donc déduit celle de g !).
J'aimerais dire que le produit de convolution est égal au produit des transformées de Fourier mais pour cela, d'après mon cours, il faut que f et g soient dans L1, ce que je n'arrive à démontrer...

Et comment définis-tu les transformées de Fourier de et (sinon tu n'as pas pu les calculer !!!), si ces fonctions ne sont pas dans ?

[james_83]

Merci de ta réponse,
Oui en effet, je les ai calculées bêtement, sans me demander si elles étaient bien définies...
Ainsi, en supposant qu'elles soient L1, j'en ai déduit les transformées de Fourier....
Mais maintenant, pour que tout soit bien définit, comment je peux montrer qu'elles sont dans L1 ?

[james_83]

ou alors la transformée de Fourier de f est définie si et seulement si f est dans L1 ? si tu peux m'éclairer, je m'embrouille!!
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

ou alors la transformée de Fourier de f est définie si et seulement si f est dans L1 ? si tu peux m'éclairer, je m'embrouille!!
Merci

La transformée de Fourier est définie par l'intégrale .

Le fait que soit dans suffit à assurer que l'intégrale existe.
Mais, dans ton cas, il me semble que l'intégrale diverge à la borne et qu'il y a un problème pour définir les transformées de Fourier.

[james_83]

Oui en effet tu as raison, j'ai oublié quelquechose de très important, c'est les fonctions f et g multipliées par la fonction caractéristique :
1 sur [O, +infini[
0 sur sur ]-infini, 0[
qu'on étudie...
Mais en intégrant sur [0, +infini[, je n'arrive pas à montrer que l'intégrale converge....

[God's Breath]

Oui en effet tu as raison, j'ai oublié quelquechose de très important, c'est les fonctions f et g multipliées par la fonction caractéristique :
1 sur [O, +infini[
0 sur sur ]-infini, 0[
qu'on étudie...

C'est effectivement une précision bien utile.

Mais en intégrant sur [0, +infini[, je n'arrive pas à montrer que l'intégrale converge...

C'est du classique : est de limite nulle à l'infini, donc , ce qui assure la convergence de l'intégrale.

Quelles sont les transformées de Fourier de et ?

[james_83]

J'ai donc trouvé :
n! / (alpha + 2*i*Pi*Nu)^(n+1), il suffit donc de faire le produit avec celle de g, est-ce correct ?
En ce qui concerne le critère que tu as utilisé, je ne l'ai jamais utilisé jusqu'à présent... bien qu'ayant traité les intégrales impropres...
La démarche usuelle qu'on utilisait était de chercher un équivalent de la fonction ou une majoration par une fonction dont l'intégrale convergeait...
Donc je te remercie sincèrement.

[God's Breath]

J'ai donc trouvé :
n! / (alpha + 2*i*Pi*Nu)^(n+1), il suffit donc de faire le produit avec celle de g, est-ce correct ?

Oui le calcul est exacte, et dès que les fonctions appartiennent à , tu as .

En ce qui concerne le critère que tu as utilisé, je ne l'ai jamais utilisé jusqu'à présent... bien qu'ayant traité les intégrales impropres...
La démarche usuelle qu'on utilisait était de chercher un équivalent de la fonction ou une majoration par une fonction dont l'intégrale convergeait...
Donc je te remercie sincèrement.

C'est pourtant une classique règle de Riemann en comparant à par prépondérance au lieu d'utiliser une majoration ou un équivalent.

[james_83]

Ok, c'est parfait, je te remercie sincèrement God's Breath !!!
Tu m'as vraiment enlevé une épine du pied, ton aide m'a été précieuse.
Merci encore

[invite39cbe40b]

mais ne surtout pas oublier qu'une integrale peut converger sans que la fonction soit integrable (par exemple sin(x)/x sur 1 et l'infini