Spectre de la somme de 2 matrices Hermitiennes

[invitea774bcd7]

Bonjour à tous

Je m'intéresse en ce moment à ce problème : Soient A et B deux matrices Hermitiennes dont on connaît le spectre. Que peut-on dire (peut-on déterminer même) sur le spectre de C=A+B ?

Il s'avère en recherchant un minimum que je ne suis pas le premier à se poser cette question () et que c'est même un problème de longue date…
J'ai par exemple téléchargé un article me paraissant très bien (Jane Day et.al. dans Lin. Alg. App., vol. 280, pp. 289) mais c'est 40 pages de maths bien trop ardues pour moi

Ma question : serait-il possible que quelqu'un me résume succinctement ce problème (qui est apparemment résolu si j'ai bien compris ) ? Ou bien est-ce réellement trop compliqué à résumer et je dois m'atteler à lire cet article…

Merci d'avance pour toutes réponses
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[invitebe0cd90e]

Effectivement c'est un probleme bien plus compliqué qu'il n'en a l'air

Il se trouve (coup de bol) que j'ai vaguement abordé la question lors de mon stage de M2 (bien vaguement, c'etait en ouverture a la fin).

En fait, plus exactement, je me suis interressé a la question :

Etant données 3 suites décroissantes de n réels (a,b,c), existe t il 3 matrices hermitiennes A,B,C tels que A+B=C et tels que leurs spectre respectifs soient a,b et c ?

A l'origine, on a une conjecture de Horn qui donne une serie d'inégalités sur a,b,c qui devraient etre necessaires et suffisantes pour que de telles matrices existent.

Un certain Klyachko a, un bon moment après, presque résolu la conjecture. En fait, il ne restait qu'une chose à prouver : la conjceture de saturation. Une reponse positive a la conjecture de saturation plus le theoreme de Klyachko implique meme une version plus forte de la conjecture de Horn.

Maintenant la conjecture de saturation : en definitive, le probleme ci dessus se ramene (je ne sais plus trop comment, mais je ne suis pas sur que ca soit tres diffiicile) a repondre a la question pour a,b,c des suites decroissantes d'entiers positifs, qu'on appelle aussi des partitions.

Il faut savoir par ailleurs que les représentations (polynomiales, de dimension finie) de (ou d'ailleurs de ) sont justement caractérisée par de telle partition. Plus précisement, à (presque) chaque partition, on peut associer une representation irreductible de , et on les obtient toutes de cette maniere.

Par ailleurs, on sait que toute representation de se decompose en somme directe de representation irreductible. En particulier, si sont les representations irreductibles associées a et b, alors le produit tensoriel se decompose en somme directe de representation irreductible. A ce moment la, on peut se poser la question : est ce que , la rep. irreductible associée à c, apparait dans cette decomposition, et si oui avec quel coefficient ? Du coup, on appelle "coefficient de Littlewood-Richardson" et on note le coefficient de dans le decomposition de . Si il n'y apparait pas, on pose bien sur .

Revenons à nos mouton. Klyachko a en gros prouvé le resultat suivant :

Soit H l'ensemble des triplets de suites d'entiers (a,b,c) qui satisfont a la question que j'ai posé au debut
- si , alors (a,b,c) appartient à H
- si (a,b,c) appartient à H, alors il existe N tel que

La conjecture de saturation est simplement la suivante :

Du coup, le th de Klyachko deviendrait : (a,b,c) appartient à H, si et seulement si .

Il faut savoir qu'on connait un paquet de methodes pour calculer ces coefficients, depuis longtemps, par des procedes combinatoire (le plus ancien etant l'utilisation des tableaux de Young), mais la conjecture de saturation a ete prouvée seulement recement par Knutson et Tao en utilisant un nouveau modele combinatoire (des "ruches").

Tu peux lire ca pour avoir une approche un peu "vulgarisée" de leur construction, bien replacée dans le contexte. de memoire c'est pas mal ecrit, assez clair :
http://www.ams.org/jams/1999-12-04/S...99-4/home.html

Voila, j'ai essayé de faire court mais c'est peut etre un peu brutal, n'hesite pas si tu as des questions

[invitea774bcd7]

J'ai aussi téléchargé l'article de Horn

Merci de ton message. Je vais me plonger dans ces articles et voir ce qu'il en sort

[invitebe0cd90e]

Je suis desolé, je viens de me rendre compte que je t'ai pointé le "vrai" article de Knutson et Tao, qui est plutot pas mal technique, au lieu de l'article des Notices de l'AMS qui explique beaucoup mieux les choses et le contexte. Je te conseilles donc de commencer par celui la :

http://www.ams.org/notices/200102/fea-knutson.pdf

Il a aussi l'avantage de commencer par un tour d'horizon rapide des inegalités dont je te parle, et de l'historique de la conjecture de Horn.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea774bcd7]

Merci beaucoup