théorème de la valeur finale (laplace) faux ?

[inviteadd9aac6]

bonjour,
lorsque l'on utilise le théorème de la valeur finale pour trouver la limite
pour t tendant vers l'infini de l'exponentielle t on trouve 0

lim e^t = lim p . 1/(p-1) = 0
t->oo......p ->0

alors que exponentielle de t tend vers l'infini lorsque t tend vers l'infini

aussi, lorsque l'on utilise le théorème de la valeur finale pour trouver la limite
pour t tendant vers l'infini de sin(t) on trouve 0

lim sin(t) = lim p . 1/(p^2+1) = 0
t->oo.........p->0

alors qu'on ne peut pas déterminer à l'infini la valeur de sin(t)

auriez-vous des explications à ces résultats ???
le théorème de la valeur finale serait-il donc faux ?????
ai-je fait une erreur dans son application ??
merci
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[invited5b2473a]

C'est quoi ce théorème?

[invitec053041c]

Bonsoir.

Ces théorèmes s'appliquent pour f bornée et si lim(x->infini)f a un sens et est finie. En gros, il faut avoir des fonctions gentilles .

[invite9521b76c]

Le sujet est un peu vieux, mais je voudrais donner une réponse un peu plus justifiée. Pour cela il suffit de regarder la démonstration de ce théorème :
lim sF(s) = lim (L[df(t)/dt]+f(0))
s->0 s->0
= lim(integrale(de 0 à infini, df(t)/dt*exp(-st)*dt))+f(0)
s->0
=int(0,infini, df(t)/dt*lim(exp(-st))*dt)+f(0)
s->0
A ce moment là, pour démontrer le théorème il faut faire une inversion limite/integrale, ce qui implique la convergence absolue de df(t)/dt*exp(-st) quand s->0. Ce qui n'est pas le cas avec f(t)=exp(t) ou f(t)=sin(t).

Pour finir la démonstration :
lim(exp(-st))=1
s->0
D'où lim sF(s)=int(0,infini, df(t)/dt*dt)+f(0)
=f(infini)-f(0)+f(0)
=lim f(t)
t->infini

[A voir en vidéo sur Futura]