Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 23 sur 23

Méthode des trapèzes



  1. #1
    Balanin

    Méthode des trapèzes


    ------

    Bonjour, je suis étudiant en Master 2 de Biostats/Biomaths. Un de nos projets nécessite le calcul de l'intégrale d'une courbe dont nous n'avons pas l'équation.
    On m'a dit que la méthode des trapèzes permettait de faire cela, j'ai trouvé une formule, mais je ne suis pas sûr de bien l'utiliser...

    Voici une impression écran de mon calcul.


    Pouvez-vous m'aider ?

    Merci d'avance!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    Salut,

    tu découpes ton intervalle en n+1 points :

    est la valeur à l'instant , ... , est la valeur à l'instant .

    On approxime l'aire (sous la courbe) entre et par : (où désigne la distance entre et )

    Après il n'y a plus qu'à sommer !

    Tes calculs ont l'air de correspondre, mais sur ton exemple tu ne commences qu'à partir du jour 7, et non du jour 0...

    ---

    EDIT : Attention ! Si tu ne souhaites étudier l'intégrale qu'entre J7 et J49 (ce qui est en vert), tu te trompes Ce que tu as appelé : J7 à J49 est en fait J7 à J60 !

    L'aire entre et est la somme des
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 25/05/2008 à 14h10.

  4. #3
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    ... la somme des pour entre 0 et (et non )

  5. #4
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    Bonjour, merci pour ta réponse rapide!!
    Je vais revoir mon calcul, alors puisqu'en effet c'est entre J7 et J49 que je veux faire mon analyse.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    C'est parfait je retombe sur mes pattes
    Merci pour m'avoir signalé mon erreur, effectivement j'allais jusqu'à J60.

    Dans le même ordre d'idée, j'aurais une question, n'hésite pas à le dire c'est loufoque ou si ça te semble complètement aberrant!

    Voilà je voulais au début passer outre la méthode des trapèzes et réaliser un ajustement via une courbe de tendance (polynomiale) de ma courbe empirique.
    L'ajustement était plutôt bon et il me permettait d'obtenir l'équation de ma courbe de tendance, ce qui me permettait d'une calculer facilement l'intégrale.

    En gros je calculais l'intégrale exacte d'une courbe de tendance ajustée sur ma courbe réelle, ce qui me paraissait être une bonne idée.
    Tout à l'heure j'ai testé sur une équation de courbe connue (y=x^2) et ma courbe de tendance avait donc pour équation un polynôme de degré 4, j'intègre et........ je suis très loin du résultat.

    Est-ce que mon idée n'est pas applicable ou est-ce juste une erreur de calcul (j'y crois moyen..) ?

    Merci encore!

  8. #6
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    Bonsoir,

    ton idée est tout à fait bonne.

    La première idée pour calculer une aire (intégrale) est la méthode des rectangles, puis il y a la méthode des trapèzes (que tu as faite), mais il y en a d'autres. A chaque fois, on interpole entre les points connus par des applications de degré croissant (0 pour la méthode des rectangles, 1 pour les trapèzes, après il y a Simpson, Newton, etc...).

    Par contre, il y a une première contrainte : c'est le nombre de points. Pour du degré n il te faut n+1 points.

    Ensuite, il y a deux phénomènes d'erreur : les erreurs d'arrondis (mais je ne pense pas que ça te concerne ici), et le phénomène de Runge Kutta : un polynôme, ça oscille Et cela peut induire une forte oscillation entre deux points pourtant proches. Il s'agit peut-être de ce phénomène (qui se produit généralement aux bords) ici.

    Pour avoir travaillé dessus cette année, je dirais que :
    - il ne faut pas croire qu'augmenter le degré sans cesse augmente la précision. Le phénomène de Runge-Kutta peut fausser les calculs.
    - la méthode des trapèzes peut te donner finallement une valeur très correcte
    - tu peux améliorer la convergence en utilisant la méthode de Romberg et Richardson, mais ici, ça ne vaut pas le coup à mon avis.

    Romain

    EDIT : qu'est-ce que pour toi une courbe de tendance ? c'est une courbe des "moindres carrés" ou bien une courbe d'interpolation ? Si c'est le premier point, je comprend que tes résultats soient incohérents ! Je n'ai pas étudié ça en détail, mais je ne crois pas que l'intégrale de la courbe des moindres carrés ait grand chose à voir avec la véritable intégrale (j'ai au moins un exemple dans lequel les valeurs étaient éloignées).
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 25/05/2008 à 21h47.

  9. Publicité
  10. #7
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Bonsoir,
    EDIT : qu'est-ce que pour toi une courbe de tendance ? c'est une courbe des "moindres carrés" ou bien une courbe d'interpolation ? Si c'est le premier point, je comprend que tes résultats soient incohérents ! Je n'ai pas étudié ça en détail, mais je ne crois pas que l'intégrale de la courbe des moindres carrés ait grand chose à voir avec la véritable intégrale (j'ai au moins un exemple dans lequel les valeurs étaient éloignées).
    Bonjour, je te remercie de t'intéresser à mon problème, c'est rarement le cas sur le net.
    Alors cette courbe de tendance est une option d'Excel comme tu t'en doutes (voir impression écran)



    A vrai dire je ne sais pas si c'est une courbe d'interpolation ou des moindres carrés comme c'est le cas pour les modèles linéaires généralisés..

    Toujours est-il que l'intégrale calculée sur l'équation de cette courbe est fortement éloigné (ratio > 1/10000) de la réalité...
    Comme tu le fais justement remarquer la méthode des trapèzes est finalement sufiisante pour une approximation de ce type, je vais donc la conserver, le reste était une simple curiosité (qui continue à me titiller!)

  11. #8
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    Bonjour,

    les courbes tracées par excel du type "linéaire" et "polynomiale" sont des courbes des moindres carrés, donc laisse tomber de ce côté-ci. (Précision : je n'en suis pas sûr à 100%)

    Je te donnerais bien les formules de Simpson et Newton, mais celles que je connais supposent un découpage régulier (ce qui n'est pas le cas ici). Pour un découpage irrégulier, elles sont beaucoup plus compliquées.

    Si tu veux, je peux te donner les formules d'interpolation dans le cas général. Ici, tu auras du degré 10 (puisque tu as 11 points), mais ça ne vaut pas le coup. Le polynôme va beaucoup osciller, notamment entre tes 6 premières valeurs, et ça n'approximera pas bien du tout l'aire... étant donné que les 6 premières valeurs sont assez proches.

    Il te faut bien distinguer deux choses :
    la méthode des trapèzes consiste à interpoler entre deux points successifs par une droite. Puis on somme. On peut faire la même chose avec du plus haut degré (on interpole entre trois points successifs par du degré 2, et ainsi de suite). Ce n'est pas la même chose que d'interpoler entre tous tes points par une même fonction polynômiale. Dans le premier cas, tu obtiens une interpolation qui n'est pas lisse (seulement continue), alors que dans le deuxième c'est .
    Généralement, on préfère - pour calculer des aires - utiliser la première méthode (on parle de méthode composite), qui consiste à juxtaposer des suites de petites interpolations.

    Si tu veux passer au degré 2 (juste au-dessus des trapèzes) (méthode de Simpson), tu le peux. Je t'explique comment faire :
    tu regroupes les abscisses par 3 :
    (x1,x2,x3)
    (x3,x4,x5)
    etc...
    pour le premier : (x1,x2,x3), tu vas interpoler entre les points (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) avec un polynôme de degré 2. C'est facile tu dis qu'un tel polynôme est d'équation f(x)=ax²+bx+c et il faut que tu aies f(xi)=yi. Après tu intègres, et tu auras une approximation de l'aire entre x1 et x3.
    L'avantage de faire comme ceci, c'est que tu évites le phénomène de Runge (c'est pour cela qu'on préfère les méthodes composites pour les calculs d'aire)
    Ensuite tu sommes.

    A mon avis, si tu fais comme ceci, tu obtiendras une meilleure approximation, même si ce ne sera pas forcément très significatif car tu as peu de points.

    Si tu n'as pas bien compris, n'hésite pas à le dire !

    Romain

    (dommage que je n'aie pas une feuille de papier et un crayon, car ce serait beaucoup plus facile pour expliquer !)

  12. #9
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Bonjour,

    les courbes tracées par excel du type "linéaire" et "polynomiale" sont des courbes des moindres carrés, donc laisse tomber de ce côté-ci. (Précision : je n'en suis pas sûr à 100%)

    Je te donnerais bien les formules de Simpson et Newton, mais celles que je connais supposent un découpage régulier (ce qui n'est pas le cas ici). Pour un découpage irrégulier, elles sont beaucoup plus compliquées.

    Si tu veux, je peux te donner les formules d'interpolation dans le cas général. Ici, tu auras du degré 10 (puisque tu as 11 points), mais ça ne vaut pas le coup. Le polynôme va beaucoup osciller, notamment entre tes 6 premières valeurs, et ça n'approximera pas bien du tout l'aire... étant donné que les 6 premières valeurs sont assez proches.

    Il te faut bien distinguer deux choses :
    la méthode des trapèzes consiste à interpoler entre deux points successifs par une droite. Puis on somme. On peut faire la même chose avec du plus haut degré (on interpole entre trois points successifs par du degré 2, et ainsi de suite). Ce n'est pas la même chose que d'interpoler entre tous tes points par une même fonction polynômiale. Dans le premier cas, tu obtiens une interpolation qui n'est pas lisse (seulement continue), alors que dans le deuxième c'est .
    Généralement, on préfère - pour calculer des aires - utiliser la première méthode (on parle de méthode composite), qui consiste à juxtaposer des suites de petites interpolations.

    Si tu veux passer au degré 2 (juste au-dessus des trapèzes) (méthode de Simpson), tu le peux. Je t'explique comment faire :
    tu regroupes les abscisses par 3 :
    (x1,x2,x3)
    (x3,x4,x5)
    etc...
    pour le premier : (x1,x2,x3), tu vas interpoler entre les points (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) avec un polynôme de degré 2. C'est facile tu dis qu'un tel polynôme est d'équation f(x)=ax²+bx+c et il faut que tu aies f(xi)=yi. Après tu intègres, et tu auras une approximation de l'aire entre x1 et x3.
    L'avantage de faire comme ceci, c'est que tu évites le phénomène de Runge (c'est pour cela qu'on préfère les méthodes composites pour les calculs d'aire)
    Ensuite tu sommes.

    A mon avis, si tu fais comme ceci, tu obtiendras une meilleure approximation, même si ce ne sera pas forcément très significatif car tu as peu de points.

    Si tu n'as pas bien compris, n'hésite pas à le dire !

    Romain

    (dommage que je n'aie pas une feuille de papier et un crayon, car ce serait beaucoup plus facile pour expliquer !)

    Bonjour, merci c'est très clair ne t'en fais pas! Je vais essayer la méthode de Simpson et voir à quelle point elle réduit l'erreur d'approximation en comparaison de la méthode des trapèzes. Si c'est très faible, je m'en tiendrais à la méthode des trapèzes.

    Merci de m'avoir éclairé sur le fait que mon interpolation via une courbe de tendance est différente d'une interpolation locale en terme de calcul d'intégrale.

    Mais tu vois malgré tout en raisonnant d'un certain point de vue, j'ai du mal à comprendre pourquoi une courbe d'équation connue et une autre courbe ajustée (polynomiale ou autre), donc "très proche" en terme de calcul d'ordonnée pour une abscisse donnée soit si différente.

    Puisque visuellement mon aire sous courbe semble si proche, pourquoi l'application numérique est si éloignée de la réalité... je pense que mon raisonnement coince quelque part, mais où?

    Je t'invite a faire l'essai (si tu as le temps/l'envie) de sortir un vecteur x, un y d'équation connue (exemple y=x²), puis tu ajoutes cette fameuse courbe de tendance (sur le graph elle est très proche de manière globale!) , tu en récupère l'équation, tu intègre et là....rien à voir. J'y perds mon latin.

  13. #10
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    Re !

    Une courbe des moindres carrés peut passer très loin de certains points.
    Prenons un exemple :
    tu as les points (0,0) (1,10) (2,10) (3,10) (4,10) (5,10) (6,0)
    Ta courbe des moindres carrés, déjà, est de degré très inférieur au nombre de points (par exemple, ici, elle serait de degré 1 ou 2 au max - ça pourrait être plus, mais après il n'y a plus d'intérêt à faire la méthode des moindres carrés, il vaut mieux interpoler).

    Je n'ai pas fait la simulation, mais si Excel "sait" pondérer faiblement les points qui semblent avoir des valeurs hors-normes (et même s'il ne sait pas d'ailleurs), il va "presque" remplacer tes points par une droite horizontale y=10 (et plus tu vas mettre des points à la hauteur 10, plus l'ordonnée à l'origine sera proche de cette valeur et ta droite sera horizontale).
    Finalement, il va remplacer tes points qui dessinent un trapèze par un rectangle. Et l'aire augmente alors de 10u² (si l'unité de longueur est u).

    Une courbe des moindres carrés sert à trouver une relation entre les variables. Ce qu'on cherche à minimiser c'est l'écart quadratique qui n'a - a priori - aucun lien avec l'intégrale.
    Je répète aussi que la courbe des moindres carrés peut passer très loin de certains points, et ce n'est pas négligeable quand on cherche une aire !

    Pour démontrer tout ça :
    Quand on souhaite démontrer la convergence des méthodes des trapèzes & Cie, on majore l'écart entre la vraie aire et l'aire trouvée, et on voit qu'il tend vers 0 quand le nombre de points augmente.
    Ici, ça m'étonnerait qu'on puisse produire le même raisonnement, car sur mon exemple, ça ne semble pas marcher.
    Pour montrer que ça ne marche pas, il faudrait au contraire minorer l'écart. A voir !

    L'exemple auquel je pensais est en image. Il me semble que les aires ne correspondent pas...

    Convaincu ?

  14. #11
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    L'image est là...

    C'est un dessin rapidement fait sous Paint, mais qui correspond à une régression linéaire réalisé pour la résolution d'un problème physique lié à l'élasticité de certains matériaux...
    Images attachées Images attachées

  15. #12
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    Hello!

    Oui je comprend tout à fait, mais dans ce cas, ton approximation est linéaire ?
    J'ai refais un exemple visuel qui me parle assez : les deux courbes (avec celle de tendance) sont parfaitement confondues et on a encore une différence dans le calcul de l'intégrale..Moins important ici que dans le cas de données dont on ne peut pas extrapoler une équation directement (convergence plus rapide lorsque le pattern de données est proche d'une équation connue ?)

    Merci en tout cas, cette partie est juste là pour ma culture perso

  16. Publicité
  17. #13
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    Edit : j'ai oublié l'image désolé...


    http://www.geocities.com/cladoo_cladoo/ASC2.JPG

  18. #14
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    Salut,

    oui, ma courbe des moindres carrés est en fait une droite, et on voit bien que ça ne marche pas.

    Pour ton exemple.
    Déjà, je trouve bizarre qu'Excel te donne une courbe de tendance en alors que tes points sont rigoureusement situés sur une courbe de degré 2... Je pense qu'il devrait trouver une courbe de tendance de degré 2.

    ---

    EDIT : finalement, le coefficient du est très faible donc on peut le rejeter...
    Je fais le calcul...

    Je trouve 78 pour l'intégrale de ton approximation entre -2 et 4...
    Dernière modification par Romain-des-Bois ; 27/05/2008 à 10h59.

  19. #15
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    Suite :
    EDIT : finalement, le coefficient du est très faible donc on peut le rejeter...
    Je fais le calcul...

    Je trouve 78 pour l'intégrale de ton approximation entre -2 et 4...

    et il y a quelque chose qui ne va pas du tout... Si f désigne la fonction de départ, et g ton approximation, tu as que : f(0)=6 et g(0)=15, ça ne peut pas coller !

    Il est très clair que ce n'est pas la courbe et le polynôme en que tu as sur le dessin...

  20. #16
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    Tu penses à une erreur Excel ? Ce qui est clair c'est qu' en calculant y à partir de l'équation de la courbe de tendance on ne trouvera pas du tout les même x, mais alors ça veut aussi dire que le graph de la courbe de tendance est erroné / ou que l'équation donnée n'y correspond pas du tout?

    Pour le calcul de mes intégrale j'ai utilisé un .xla d'ajout de fonction maths (donc sans vérifier le résultat calculé par cette nouvelle fonction appelée INTEGRAL("equation";from;to))

  21. #17
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    Je vient de faire le graph, c'est affligeant...



    La question qui reste posée : à quoi correspond cette courbe de tendance (en noir) et quelle est son équation?

  22. #18
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    Re !

    Bon, on est d'accord, ta droite de tendance n'était pas celle dessinée.
    Il ne s'agit pas d'une courbe des moindres carrés, qui serait beaucoup plus proche du dessin (voire qui collerait vraiment à la courbe).

    Je ne vois pas en quoi cette courbe est une courbe de tendance Les courbes n'ont pas du tout la même allure. Les valeurs aux bords sont très éloignées... es-tu sûr de bien manipuler sous Excel ?

  23. Publicité
  24. #19
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    Une erreur est toujours possible m'enfin...j'ai juste utilisé l'option ajouter une courbe de tendance+afficher l'équation de la courbe, normalement c'est dans mes cordes..
    Ce ne serait pas la première fois que Excel présente des bugs (notamment sous VBA) mais là ça me parait un peu gros!

    De ton côté tu obtiens le même style de résultat ? (je suis sous Excel 2003)

  25. #20
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    Salut !

    Je n'avais pas excel sous cet ordi, donc...

    bon, alors, j'ai essayé, et... j'obtiens un truc encore différent (mais allure plus proche de la "vraie" fonction quand même).

    Il faudrait qu'une expert en excel nous dise ce qu'excel appelle courbe de tendance, et pourquoi tu as cru que c'était cette courbe qui était affichée !?

    Vive les trapèzes

  26. #21
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    Hello!

    Ta question c'est : pourquoi as-tu cru que la courbe noire est une courbe de tendance ?

    Parceque j'ai fais clic droit sur ma première courbe > ajouter une courbe de tendance. Et elle est apparue confondue avec ma première courbe
    Un ami expert en développement (pas Excel mais tout de même) pense que c'est effectivement un bug. Peut-être que sur une version plus récente... :-/


    Au fait on m'a dit qu'il était possible de déterminer l'équation d'une droite à partir de coordonnées, ça te dit quelquechose ??

    Sinon ouais la méthode des trapèzes ça me convient tout à fait héhé

  27. #22
    Romain-des-Bois

    Re : Méthode des trapèzes

    Citation Envoyé par Balanin Voir le message
    Au fait on m'a dit qu'il était possible de déterminer l'équation d'une droite à partir de coordonnées, ça te dit quelquechose ??
    Bah si ta droite passe par les points (a,b) et (c,d) (distincts) alors :

    si a=c, ta droite est d'équation x=a

    sinon

    C'est tout simple...

    Romain

  28. #23
    Balanin

    Re : Méthode des trapèzes

    Citation Envoyé par Romain-des-Bois Voir le message
    Bah si ta droite passe par les points (a,b) et (c,d) (distincts) alors :

    si a=c, ta droite est d'équation x=a

    sinon

    C'est tout simple...

    Romain
    Great, j'essaye ça ce week end

Discussions similaires

  1. Méthode des coupures en mécanique des structures ?
    Par redvivi dans le forum Physique
    Réponses: 4
    Dernier message: 11/05/2009, 16h29
  2. Problème pour un exercice avec des Aires de Trapèzes
    Par sautemouton dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 10
    Dernier message: 12/11/2008, 12h16
  3. methode des residus
    Par Concombre des mers dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 04/05/2008, 22h08
  4. Méthode des cercles
    Par Opaland dans le forum Chimie
    Réponses: 1
    Dernier message: 30/05/2007, 16h56
  5. Méthode des fragments
    Par nessa95 dans le forum Chimie
    Réponses: 1
    Dernier message: 12/02/2006, 16h32