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Théorème des Quatre Carrés



  1. #1
    Kieron

    Théorème des Quatre Carrés

    Bonjour,
    Bonjour,
    Je rencontre quelques difficultés sur un exercice d'algèbre/d'arithmétique (application des quaternions en arithmétique) :

    J'en ai résolu la première partie qui consistait à démontrer :
    que A était un sous-anneau euclidien principal de H (anneau des quaternions), A étant l'ensemble des a dans H tels que a dans A' ou (a-e) dans A'.
    Avec A' l'ensemble des quaternions de la forme x+yi+zj+tk (x,y,z,t entiers relatifs) et e=1/2.(1+i+j+k)


    La suite de l'exercice me pose plus de problèmes :

    Soit p un nombre premier impair. Montrer qu’il existe des entiers a, b non tous deux multiples de p telsque a2+b2+1=0 modulo p.
    Soit I l’idéal à gauche de A engendré par p et 1+ai+bj.
    Si I=Az, montrer que N(z)=p.
    En déduire que p est somme de quatre carrés d’entiers. (Si z dans A', c’est fini. Sinon, montrer qu’il existe u=1/2.(-+1 -+i -+j -+k) dans A* et b dans A0 tels que z=u+2b;
    remarquer que zu^-1 appartient à A')


    (N(Z) désigne l'application qui à un quaternion z=a+ib+jc+kd associe a2+b2+c2+d2, la norme quoi)

    N'étant qu'en maths sup', je n'ai guère l'habitude de manier les structures quotient dont l'utilisation est visiblement sollicité...

    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    Ksilver

    Re : Théorème des Quatre Carrés

    Salut !


    Soit p un nombre premier impair. Montrer qu’il existe des entiers a, b non tous deux multiples de p telsque a2+b2+1=0 modulo p. >>> ce passage est assez simple si tu est un peu familier avec les groupe Z/nZ : il ce fait par un argument de cardinalité :

    on a un morphisme x->x² de (Z/pZ)* -> (Z/pZ)*, dont le noyaux est exactement {1,-1} de cardinal 2, donc son image est de cardinal celui de (Z/pZ)*/2 , soit (p-1)/2 : il y a donc (p-1)/2 elements de Z/pZ qui sont des caré d'element non nul, et donc (p+1)/2 elements qui sont des caré (0 est un caré ! )

    du coup il y aussi (p+1)/2 element qui peuvent s'écrire comme -1-x^2

    et du coup l'ensemble des t qui peuvent s'ecrire y^2, et celui des t qui peuvent s'ecrire -1-y^2 ne peuvent etre disjoint (ils ont tous deux un cardinal (p+1)/2, donc si il était disjoint la réunion aurait un cardinal p+1 ce qui est impossible ! ), donc il existe un t telle que t=y^2=-1-x^2

    soit x^2+y^2+1=0 modulo p

  4. #3
    Ksilver

    Re : Théorème des Quatre Carrés

    Pour la suite :


    Soit I l’idéal à gauche de A engendré par p et 1+ai+bj.
    Si I=Az, montrer que N(z)=p. >>

    as tu remarqué précedement que les elements de A ont une norme entière ? si ce n'est pas le cas, vérifie le maintenant !

    en attendant :
    Tu as p et (1+ai+bj) qui sont des multiples de z dans A, donc N(z) divise N(p)=p^2 et N(1+aj+bi)=1+a^2+b^2 = mp

    or on peut choisir a et b tel que |a| < p/2 et |b|<p/2 (quitte à les prendre négatif...), et du coup, on aura mp<p^2/2 +1, et donc m<p !

    du coup p ne divise pas m, et comme N(z) divise N(p)=p^2 et mp, N(z) divise p, donc N(z)=1 ou p.

    Si N(z)=1 alors on pourra voir que z est inversible, et donc que I=A tous entier... ce qui doit aboutir à une contradiction, mais sur le coup j'ai plus d'idée :S

  5. #4
    Kieron

    Re : Théorème des Quatre Carrés

    Merci de ton aide
    Pour le cas N(z)=1, je dis simplement que 1 ne peut pas être dans l'idéal engendré par p et 1+ai+bj
    Pour la suite, si z dans A0, c'est fini, pour z dans A\A0, l'existence de u=1/2.(-+1 -+i -+j -+k) dans A* et b dans A0 tels que z=u+2b est évidente ; cependant, je ne vois pas comment exprimer z comme somme de 4 carrés en ce cas-là :s

  6. #5
    Kieron

    Re : Théorème des Quatre Carrés

    Oups, j'aurais dû réflêchir avant de poster, ce cas était tout aussi trivial
    Merci encore de ton aide!

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