Bonjour,
au cours d'une lecture, je suis tombé sur un petit problème qui fut posé au Moyen-Age. En gros, il disait : "Couper un segment d'une longueur donnée en trois bouts avec lesquels on pourrait construire un triangle rectangle."
Je me demandais si il suffisait "juste" de faire la démonstration du théorème ( et oui, enfin !!) de Fermat pour n=2.
Merci
il suffit de diviser le segment en douxièmes et ensuite le couper en 3,4,5 douxièmes.
pour lier cette question au "théorème de Fermat pour l'exposant 2" (en fait à ce qu'on appelle "triplets pythagoriciens") il faut se limiter aux coupes qui ont un rapport rationnel à la longueur du segment.
Si on appelle a b et c les 3 morceaux d'un baton de longueur K, il faut résoudre le système
a²+b²-c²=0
a+b+c = K
Par exemple c²=a²+b²=(K-a-b)²=K²+a²+b²-2aK-2bK+2ab.
Ce qui donne K²-2aK=2b(K-a)
On cherche la condition sur a pour que b soit positif strictement, sachant que K>a, et on trouve a<K/2
Donc les triplets (a; K²-2aK/2(K-a); K²-2aK+2a²/2(K-a) ) sont tous solutions dès lors que a<K/2
Ambrosio : on ne demande pas que les morceaux soient dans un rapport entier ?
Bonjour,Envoyé par ambrosio
j'avais bien entendu trouver des cas particuliers dont le fameux triplet 3,4,5.
Je cherchais juste une expression générale en fonction d'une longueur quelconque.
Merci
Bonjour,
j'étais également arrivé au même système à résoudre mais n'ayant pas posé de condition je n'arrivais pas à conclure.
Merci
