Topologie - densité

[erff]

Bonjour,

Je cherche à montrer ceci :

- L'ensemble des nombres de la forme m + n*r où m est un entier, n un entier positif et r un irrationnel est dense dans IR.

J'ai considéré la partie fractionnaire de tels nombres (qui est donc dans ]0,1[), et je voulais montrer que les parties fractionnaires étaient denses dans [0,1] (ensuite, il suffira de translater pour valider cela dans IR). Ensuite, je bloque


Merci
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[invite5a251c63]

Je ne comprends pas trop le but de l'exercice étant donné que les irrationnels sont denses dans R ...

[erff]

Je me suis mal exprimé

r est un irrationnel donné, m et n sont des paramètres

désolé

[invite2c3ff3cc]

Bonjour,

Je cherche à montrer ceci :

- L'ensemble des nombres de la forme m + n*r où m est un entier, n un entier positif et r un irrationnel est dense dans IR.

J'ai considéré la partie fractionnaire de tels nombres (qui est donc dans ]0,1[), et je voulais montrer que les parties fractionnaires étaient denses dans [0,1] (ensuite, il suffira de translater pour valider cela dans IR). Ensuite, je bloque


Merci

Adapte la démo du fait que les sous-groupes de IR sont de la forme a*Z (exclus ici) ou dense dans IR.

( google : http://www.eleves.ens.fr/home/baglio...Groupes-IR.pdf )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Hello ThSQ,

Par curiosité quelle requête google t'a permis de tomber sur ce document ?

[erff]

Le souci est que sans la structure de groupe, on ne peut pas montrer facilement que la borne inférieure est 0 (sans quoi on aurait la contradiction : la partie fractionnaire ne prend qu'un nombre fini de valeurs dans [0,1], ce qui contredirait l'irrationnalité de r).

D'autres idées ?

[invite2c3ff3cc]

Hello ThSQ,

Par curiosité quelle requête google t'a permis de tomber sur ce document ?

"Sous-groupes additifs de R" tout bêtement

[invite2c3ff3cc]

Le souci est que sans la structure de groupe, on ne peut pas montrer facilement que la borne inférieure est 0 (sans quoi on aurait la contradiction : la partie fractionnaire ne prend qu'un nombre fini de valeurs dans [0,1], ce qui contredirait l'irrationnalité de r).

D'autres idées ?

Montre que si ab < 0 alors b = -a et impossible

[erff]

Merci beaucoup !

Je détaille le raisonnement pour ceux que ça intéresse : (n'hésitez pas à faire remarquer les quelques coquilles de raisonnements)

- Soit r un irrationnel
Posons
et notons son intersection avec

On remarque tout d'abord que E est stable par addition de ses éléments, et multiplication par un entier > 0.

Soit
On peut trouver dans E+ (resp E-) suffisamment proches de a (resp b) de sorte à avoir a<a'+b'<b ce qui contredit l'existence de a (ou b), donc a=0 ou b=0.

- Disons a=0
Alors il est clair que b=0 (en utilisant la stabilité de E par addition)

Soient
Soit tel que (possible vue la borne inf qui est nulle)
Soit tel que

Il est clair que

Ainsi : tous voisinage de x (un reel positif) rencontre un élément de E^+. Exactement pareil dans le cas négatif (E-)

Ainsi E est dense dans IR !