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Topologie - densité



  1. #1
    erff

    Topologie - densité

    Bonjour,

    Je cherche à montrer ceci :

    - L'ensemble des nombres de la forme m + n*r où m est un entier, n un entier positif et r un irrationnel est dense dans IR.

    J'ai considéré la partie fractionnaire de tels nombres (qui est donc dans ]0,1[), et je voulais montrer que les parties fractionnaires étaient denses dans [0,1] (ensuite, il suffira de translater pour valider cela dans IR). Ensuite, je bloque


    Merci

    -----


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  3. #2
    rantan_jf

    Re : Topologie - densité

    Je ne comprends pas trop le but de l'exercice étant donné que les irrationnels sont denses dans R ...

  4. #3
    erff

    Re : Topologie - densité

    Je me suis mal exprimé

    r est un irrationnel donné, m et n sont des paramètres

    désolé

  5. #4
    ThSQ

    Re : Topologie - densité

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    Bonjour,

    Je cherche à montrer ceci :

    - L'ensemble des nombres de la forme m + n*r où m est un entier, n un entier positif et r un irrationnel est dense dans IR.

    J'ai considéré la partie fractionnaire de tels nombres (qui est donc dans ]0,1[), et je voulais montrer que les parties fractionnaires étaient denses dans [0,1] (ensuite, il suffira de translater pour valider cela dans IR). Ensuite, je bloque


    Merci
    Adapte la démo du fait que les sous-groupes de IR sont de la forme a*Z (exclus ici) ou dense dans IR.

    ( google : http://www.eleves.ens.fr/home/baglio...Groupes-IR.pdf )

  6. #5
    Gwyddon

    Re : Topologie - densité

    Hello ThSQ,

    Par curiosité quelle requête google t'a permis de tomber sur ce document ?
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    erff

    Re : Topologie - densité

    Le souci est que sans la structure de groupe, on ne peut pas montrer facilement que la borne inférieure est 0 (sans quoi on aurait la contradiction : la partie fractionnaire ne prend qu'un nombre fini de valeurs dans [0,1], ce qui contredirait l'irrationnalité de r).

    D'autres idées ?

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  10. #7
    ThSQ

    Re : Topologie - densité

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Hello ThSQ,

    Par curiosité quelle requête google t'a permis de tomber sur ce document ?
    "Sous-groupes additifs de R" tout bêtement

  11. #8
    ThSQ

    Re : Topologie - densité

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    Le souci est que sans la structure de groupe, on ne peut pas montrer facilement que la borne inférieure est 0 (sans quoi on aurait la contradiction : la partie fractionnaire ne prend qu'un nombre fini de valeurs dans [0,1], ce qui contredirait l'irrationnalité de r).

    D'autres idées ?



    Montre que si ab < 0 alors b = -a et impossible

  12. #9
    erff

    Re : Topologie - densité

    Merci beaucoup !

    Je détaille le raisonnement pour ceux que ça intéresse : (n'hésitez pas à faire remarquer les quelques coquilles de raisonnements)

    - Soit r un irrationnel
    Posons
    et notons son intersection avec

    On remarque tout d'abord que E est stable par addition de ses éléments, et multiplication par un entier > 0.

    Soit
    On peut trouver dans E+ (resp E-) suffisamment proches de a (resp b) de sorte à avoir a<a'+b'<b ce qui contredit l'existence de a (ou b), donc a=0 ou b=0.

    - Disons a=0
    Alors il est clair que b=0 (en utilisant la stabilité de E par addition)

    Soient
    Soit tel que (possible vue la borne inf qui est nulle)
    Soit tel que

    Il est clair que

    Ainsi : tous voisinage de x (un reel positif) rencontre un élément de E^+. Exactement pareil dans le cas négatif (E-)

    Ainsi E est dense dans IR !

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