Est-ce que dans un espace topologique séparé sans point isolé, on peut toujours trouver deux parties denses disjointes ?
Que l'espace soit sans point isolé est assez clairement une condition nécesaire, mais je me demande si elle est suffisante...
Une idée ?
Salut,
Un contrex idiot : un ensemble à 1 seul élément.
Je cherche un contrex moins idiot
C'est ce qu'on appelle un point isolé non ?
Je me pose une question bête : qu'est ce qu'un point isolé d'un espace topo E ?
Je connais la définition pour une partie H de E : x point isolé dans H ssi il existe un voisinage V de x tel que V inter H = {x} (équivalent à dire que {x}*est un ouvert de H pour la topologie trace sur H).
Mais qu'en est-il sur E tout entier ? Peut-on dire x isolé dans E ssi {x} voisinage de x ? Est-ce que cela a un sens ?
Merci d'avance
Re,
Vraiment idiot .... et faux mon contrex !
Tiens je ne m'étais pas posé la question. Elle ne se pose peut-être pas, mais il vaut mieux faire attention en topologie (trop) générale...Envoyé par 09Jul85
Je dirais qu'on peut parler d'un point isolé de E en prenant E=H dans ta définition. D'ailleurs il semble que cette définition ne soit pas moins générale, car si on se place dans H muni de la topologie trace, ta définition ne fait plus du tout appel à l'espace E (sauf pour définir la topologie sur H). La notion de point isolé est donc intrinsèque, contrairement à ouvert et fermé, c'est une propriété de l'espace et pas d'une partie d'un espace.
OK merci
Donc dans l'exemple de µµtt, avec la topologie discrète, c'est bien un point isolé donc ça ne marche pas
Je pense effectivement que ce n'est pas suffisant, donc je vais essayer de trouver un contre-exemple.
Je vais quand même vous dire où j'en suis arrivé, j'ai montré que c'était vrai pour
- Q^n
- R^n
- I^n où I est l'ensemble des irrationnels
- un espace séparable dont tout point a une base de voisinages indénombrables (les voisinages sont indénombrables pas la base)
La dernier cas redonne les 2 et 3, mais pas le 1, ce qui me fait penser que ça pourrait être vrai, mais j'ai beaucoup de mal à me pronocer.
Bonjour a tous.
Je viens juste de tomber sur ce forum par hasard et j'ai remarque qu'il y avait des discussions interessantes sur la topologie.
Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer pourquoi ou me dire si:
-toute fonction d'un ensemble E muni de la topologie grossiere dans F est constante
- toute fonction d'un ensemble E muni de la topologie discrete dans E est continue.
Ca parait tres simple mais j'ai comme l'impression qu' il ya quelquechose qui manque dans mes hypotheses. Priere de me donner conseil. Merci a vous.
PS Pour ceux qui etudient les varites differentiables j'ai une question:
Je suis tombe sur une exo dont les hypotheses sont les suivantes:
Soit un ressort mobile (sans frottement) pouvant se deplacer dans R3. Sachant que la longueur, L, du ressort est strictement comprise entre deux constantes L1 et L2, decrire l'espace de configuration de ce ressort comme produit de R3 et de deux autres varietes.
R3 ,e parait evident. Il me semble que la premiere variete depend du segment ouvert (diffeomorphe a S1), mais je n'arrive pas a trouver de deuxieme variete. J'ai besoin d'un coup de magie...
Finalement, un autre exercice qui me trotine dans la tete, pour ceux qui ont fait de l'algebre, l'anneau M2(R) contient deux ideaux bilateres: la matrice identite et M2(R) mais ce n'est pas un corps. Effectivement je suis d'accord que ce n'est pas un corps. Il suffit de trouver une matrice non-inversible...mais comment montrer que cet anneau contient que deux ideaux bilateres? Je suis un peu bloque. Comment decrire un ideal de M2(R)? Un ideal I (contenant i) d'un anneau A (contenant a ) est tel que ia resp. ai (si bilatere) appartient a I, n'est ce pas? Si on exclut M2(R) et la matrice identite , que reste t'il? Des sous ensembles de M2(R), des scalaires. Mais comment montrer que de tels ensembles ne peuvent pas etres des ideaux bilateres de M2(R)? Suffit-il de faire une disjonction de cas en regardant le resultat avec des matrices triangulaires, diagonales et contenant qu'un element? Ce qui me concerne c'est qu il y a "plein" de sous ensembles de M2(R). Comment tous les eliminer?
Je sais, je demande beaucoup mais J'ai remarque qu'il y avait plein d'etres intelligents sur ce forum et j'ai pense que peut-etre 'lun de vous pourrait eventuellement venir a la rescousse....
Je vous remercie d'avance
Je te rappelle qu'une fonction f:E->E, E étant muni d'une topologie, est dite continue si l'image réciproque de tout ouvert de E est un ouvert de E . Dans le cas de la topologie discrète, c'est évident, vu que toute partie de E est un ouvert!
Dans la première assertion il manque continue :
-toute fonction continue d'un ensemble E muni de la topologie grossiere dans F est constante
Si la topologie discrète c'est la topo qui prend toutes les parties de E comme étant ouverte alors la deuxième assertion est vraie.
