Un exercice de maths des ENS

[invite9c9b9968]

Salut à tous,

Je suis en train de faire quelques exercices d'oraux des ENS qui sont déjà tombés cette année, et mes amis sont tombés sur celui-ci :

Soit f une fonction polynômiale non constante de dans . Montrer que f est fermée et ouverte.

Pour fermée, je vois à peu près comment ça marche, en exploitant la continuité + Bolzano-Weierstrass.

Pour ouverte, mes amis n'ont pas su trouver. J'ai essayé d'y réfléchir, et je pensais utiliser l'inversion locale, pour utiliser le fait qu'une application continue a la bonne idée de faire en sorte que l'image réciproque de tout ouvert est encore un ouvert.

Qu'en pensez-vous ? Avez-vous d'autres idées ?

Merci d'avance
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[invited5b2473a]

Qu'est-ce que tu entends exactement par une fonction fermée (ou ouverte)?

[inviteab2b41c6]

Salut, c'est quoi *C?

[inviteab2b41c6]

Une fonction est fermée (resp ouverte) si l'image de tout fermé est fermé (resp de tout ouvert est ouvert).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Salut Quinto, c'est c'est juste un bug de l'interpréteur latex du forum (bug au niveau des espaces)

[inviteca3a9be7]

Salut,


Une fonction holomorphe est toujours ouverte mais ça te fait une belle jambe

Ouverte :

z0 € C, P(z) = P(z0) + (z-z0)^m * Q(z) avec Q(z0) != 0 (si P est constant, on oublie ...)

Soit eps > 0.

Il existe M tq |Q(z)|<= M pour |z-z0|<eps (C°, tout ça). Mézalor pour on a |P(z0)-P(z)| < eps^m * M = alpha.

On a donc montrer que pour tout eps > 0, il existe alpha > 0, tq opur tout z, |z-z0| < eps => |P(z)-P(z0)| < alpha
Ca suffit à montrer que P est ouverte.


Oubleue :

y(n) = P(x(n)) convergente -> y. x(n) est bornée, Bolzano-W, x(f(n)) est convergente vers x. Par C°, y(f(n)) -> p(x) = y par unicité de la limite.


Hope c'est good

[inviteab2b41c6]

Une fonction holomorphe est toujours ouverte

Je voulais la sortir, mais je me disais que ce serait refusé.
C'est assez classique comme théorème en exercice, et je me rappelle avoir bloqué sur la démo.

Pour montrer le caractère fermé de f, j'ai eu un flash en utilisant les truc élémentaires sur les ensembles f(A\B)= ...
et utilisé le résultat précédemment démontré sur les ouverts, conjointement à d'Alembert-Gauss (f polyôme non constant de C...).
Mais je n'ai pas essayé, je me demande si ca ne serai pas une bonne idée....

[inviteca3a9be7]

Re,


Tiens, juste pour le fun (de préférence en évident les topologies discrètes ou indiscrètes) :

- trouver une application C°, ni ouverte ni fermée
- trouver une application C°, ouverte, pas fermée
- trouver une application C°, pas ouverte, fermée
- trouver une application pas C°, mais ouverte et fermée
- ...

J'ai les réponses, c'est juste okaou ça amuserait quelqu'un

[invite9c9b9968]

Bon c'est cool, ça fait 3 méthodes, merci les amis

[invited749d0b6]

Salut,
Pour P ouverte je crois qu'on peut faire comme ca:
Soit z0 un point de C,B(z0,r) une boule ouverte .
P(z)=P(z0)+(z-z0)^m*Q(z-z0)
Si r est assez petit, pour un lacet X(t) faisant 1 tour autour de z0,P°X fait m tour autour de P(z0) donc aussi autour d'un point y voisin de P(z0). Si y n'appartient pas a l'image de P, tu peux considerer une application [0,1]->les lacets qui a h associe le lacet Y: t->z0+h*(X(t)-z0)
l'image du lacet pour h=0 est le lacet constant P(z0) donc ne fait aucun tour autour de y.
l'image du lacet pour h=1 est le lacet P°X qui fait m tour autour de y
Comme le lacet h=0 se transforme continuement en le lacet h=1, le nombre de tours autour de y devrait etre constant donc contradiction donc y appartient a l'image de P
donc les point voisins de P(z0) appartiennent a l'image de P
donc P est ouverte.
C'est de la topologie algebrique. On voit ca en licence ou en maitrise

[invite9c9b9968]

Euhh je n'ai pas tout compris (normal d'ailleurs) mais merci quand même. Cela me laisse imaginer à quel point les examinateurs des ENS sont retors, parce qu'un exercice de license/maîtrise donné à des bac+2, c'est quand même osé... Remarquez, les théorèmes d'Ascoli et de Dini sont souvent tombés en oraux d'ENS, ils sont pas mal aussi ceux-là

[invited749d0b6]

Sinon il y a une autre solution
Montre plus generalement que si tu as une fonction F continue d'un espace topologique X dans l'ensemble des polynomes de degre k fixe, les racines des polynomes varient "continuement".
Par continuement je veux dire que si {z1,...,zn} est l'ensemble des racines (qui peuvent etre double) pour x dans X, pour tout epsilon, il existe un ouvert O de X voisinage de x tel que pour tout y dans O, si {a1,...,an} est l'ensemble des racines de F(y), il existe une permutation de {1,...,n} sigma tel que zi est a moins de epsilon de a(sigma(i)) pour tout i. Je crois que c'est vrai.
Et ensuite applique cela a la famille P-y ou y appartient a un ouvert de C.

[invite60b4f063]

Si tu à montré que ton polynome P est fermé , tu peux en deduire que P est ouvert.

EN effet P est surjective car c'est un polynome non constant

donc f(C)=C
donc ( est le complementaire de A dans C)

De la tu conclus grace au fait que par definition le complementaire d'un fermé c'est un ouvert . (bon faut mettre ca au propre)

[invite9c9b9968]

Argh, c'est magnifique comme solution !! Bien vu

[invite51f4efbf]

et utilisé le résultat précédemment démontré sur les ouverts, conjointement à d'Alembert-Gauss (f polyôme non constant de C...).
Mais je n'ai pas essayé, je me demande si ca ne serai pas une bonne idée....

D'habitude c'est comme ça qu'on prouve d'Alembert-Gauss en fait

[inviteab2b41c6]

D'habitude c'est comme ça qu'on prouve d'Alembert-Gauss en fait

Ah oui?
Je ne l'ai jamais fait comme ca, mais ca prouve que mon idée n'est pas si mauvaise alors.
Moi j'y vais à grand coup de Liouville et de principe de maximum et c'est terminé

[invite51f4efbf]

Ah oui?

Une version très proche en fait : si P est un polynôme complexe non constant, son image est un ouvert de C, non vide, et également fermé. Par connexité c'est C tout entier, donc il y a nécessairement une racine.

[invite9c9b9968]

Si tu à montré que ton polynome P est fermé , tu peux en deduire que P est ouvert.

EN effet P est surjective car c'est un polynome non constant

donc f(C)=C
donc ( est le complementaire de A dans C)

De la tu conclus grace au fait que par definition le complementaire d'un fermé c'est un ouvert . (bon faut mettre ca au propre)

En fait, cette solution ne marche pas, car ( n'est vrai que pour f bijective, ce qui n'est pas le cas d'un polynôme (sauf de degré 1).

[invited749d0b6]

Soit P le polynome de degre k, O un ouvert de C,
si P(O) n'est pas ouvert, il existe z appartenant a O tel que P(O) n'est pas un voisinage de P(z) donc il existe une suite yn qui tend vers P(z) et tel que yn n'appartient pas a P(O).
Soient an1,...,ank les racines de P-yn
Si il existe epsilon>0 tel que pour tout N, il existe n>N tel que pour tout i , module de (ani-z) >espilon ,
alors module de (an1-z)*(an2-z)*...*(ank-z) > epsilon^k
or comme an1,...,ank sont les racines de P-yn
P(z)-yn=(an1-z)*...*(ank-z)
or limite yn = P(z) lorsque n tend vers l'infini
donc module de (an1-z)*...*(ank-z) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini
-> contradiction avec module de (an1-z)*...*(ank-z)>epsilon^k
donc pour tout epsilon>0 il existe N tel que pour tout n>N il existe
i tel que module de (ani-z)<espilon
Soit B(z,r) une boule ouverte contenue dans O,
Soit epsilon=r,ani appartient alors a 0 donc P(ani) appartient a P(O)
or ani est racine de P-yn donc P(ani)=yn donc yn appartient a P(O)
->contradiction
donc P(O) est ouvert

[invite60b4f063]

Effectivement j'ai generalisé un peu vite

[invite7c294408]

Est-ce que tu as essaye de jouer avec l'holomorphie? Biare (application ouverte je veux dire), ca m'a lair bien. Liouville, peut-etre....je ne sais pas. Essaie.